Precálculo Ejemplos

$- 2 \cos (3 θ) = 1$

Paso 1

Divide cada término en $- 2 \cos (3 θ) = 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 1.1

Divide cada término en $- 2 \cos (3 θ) = 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (3 θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \cos (3 θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Paso 1.2.1.2

Divide $\cos (3 θ)$ por $1$ .

$\cos (3 θ) = \frac{1}{- 2}$

Paso 1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (3 θ) = - \frac{1}{2}$

Paso 2

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$3 θ = \arccos (- \frac{1}{2})$

Paso 3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1

El valor exacto de $\arccos (- \frac{1}{2})$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$3 θ = \frac{2 π}{3}$

Paso 4

Divide cada término en $3 θ = \frac{2 π}{3}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $3 θ = \frac{2 π}{3}$ por $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{2 π}{3}}{3}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{2 π}{3}}{3}$

Paso 4.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{2 π}{3}}{3}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 4.3.2

Multiplica $\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 4.3.2.1

Multiplica $\frac{2 π}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3 \cdot 3}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$θ = \frac{2 π}{9}$

Paso 5

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$3 θ = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Paso 6

Resuelve $θ$

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Paso 6.1

Simplifica.

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Paso 6.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$3 θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 6.1.2

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$3 θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 6.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 θ = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Paso 6.1.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$3 θ = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Paso 6.1.5

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$3 θ = \frac{4 π}{3}$

Paso 6.2

Divide cada término en $3 θ = \frac{4 π}{3}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.2.1

Divide cada término en $3 θ = \frac{4 π}{3}$ por $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{4 π}{3}}{3}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{4 π}{3}}{3}$

Paso 6.2.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{4 π}{3}}{3}$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 6.2.3.2.1

Multiplica $\frac{4 π}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{4 π}{3 \cdot 3}$

Paso 6.2.3.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$θ = \frac{4 π}{9}$

Paso 7

Obtén el período de $\cos (3 θ)$ .

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Paso 7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 7.2

Reemplaza $b$ con $3$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Paso 7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Paso 8

El período de la función $\cos (3 θ)$ es $\frac{2 π}{3}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{2 π}{3}$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{2 π}{9} + \frac{2 π n}{3}, \frac{4 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$