Precálculo Ejemplos

$x^{4} - 7 x^{2} - 8 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 7 x^{2} - 8 = 0$

Paso 1.2

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$u^{2} - 7 u - 8 = 0$

Paso 1.3

Factoriza $u^{2} - 7 u - 8$ con el método AC.

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Paso 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 8, 1$

Paso 1.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 8) (u + 1) = 0$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$(x^{2} - 8) (x^{2} + 1) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} - 8 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Paso 3

Establece $x^{2} - 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $x^{2} - 8$ igual a $0$ .

$x^{2} - 8 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x^{2} - 8 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 8$

Paso 3.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{8}$

Paso 3.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{8}$ .

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Paso 3.2.3.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 3.2.3.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

Paso 3.2.3.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Paso 3.2.3.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

Paso 3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2 \sqrt{2}$

Paso 3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2 \sqrt{2}$

Paso 3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Paso 4

Establece $x^{2} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x^{2} + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x^{2} + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 1$

Paso 4.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 4.2.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 4.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 4.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 4.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} - 8) (x^{2} + 1) = 0$ verdadera.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}, i, - i$