Precálculo Ejemplos

$\cos (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 1

Multiplica cada término por un factor de $1$ que igualará todos los denominadores. En este caso, todos los términos necesitan un denominador de $2$ .

$\cos (3 x) \cdot \frac{2}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 2

Multiplica la expresión por un factor de $1$ para crear el mínimo común denominador (mcd) de $2$ .

$\cos (3 x) \cdot 2$

Paso 3

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (3 x)$ .

$\frac{2 \cos (3 x)}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 4

Simplifica $\cos (3 x) \cdot \frac{2}{2}$ .

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Paso 4.1

Divide $2$ por $2$ .

$\cos (3 x) \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 4.2

Multiplica $\cos (3 x)$ por $1$ .

$\cos (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 5

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$3 x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 6

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1

El valor exacto de $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$3 x = \frac{π}{6}$

Paso 7

Divide cada término en $3 x = \frac{π}{6}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $3 x = \frac{π}{6}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Paso 7.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 7.3.2

Multiplica $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 7.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{6}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 3}$

Paso 7.3.2.2

Multiplica $6$ por $3$ .

$x = \frac{π}{18}$

Paso 8

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$3 x = 2 π - \frac{π}{6}$

Paso 9

Resuelve $x$

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Paso 9.1

Simplifica.

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Paso 9.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$3 x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 9.1.2

Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$3 x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 9.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 9.1.4

Multiplica $6$ por $2$ .

$3 x = \frac{12 π - π}{6}$

Paso 9.1.5

Resta $π$ de $12 π$ .

$3 x = \frac{11 π}{6}$

Paso 9.2

Divide cada término en $3 x = \frac{11 π}{6}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 9.2.1

Divide cada término en $3 x = \frac{11 π}{6}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{11 π}{6}}{3}$

Paso 9.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{11 π}{6}}{3}$

Paso 9.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{11 π}{6}}{3}$

Paso 9.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 9.2.3.2

Multiplica $\frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 9.2.3.2.1

Multiplica $\frac{11 π}{6}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{11 π}{6 \cdot 3}$

Paso 9.2.3.2.2

Multiplica $6$ por $3$ .

$x = \frac{11 π}{18}$

Paso 10

Obtén el período de $\cos (3 x)$ .

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Paso 10.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 10.2

Reemplaza $b$ con $3$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Paso 10.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Paso 11

El período de la función $\cos (3 x)$ es $\frac{2 π}{3}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{2 π}{3}$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$