Precálculo Ejemplos

$x = 2 \sin (t)$ , $y = 2 \cos (t)$

Paso 1

Establece la ecuación paramétrica de $x (t)$ para resolver la ecuación de $t$ .

$x = 2 \sin (t)$

Paso 2

Reescribe la ecuación como $2 \sin (t) = x$ .

$2 \sin (t) = x$

Paso 3

Divide cada término en $2 \sin (t) = x$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $2 \sin (t) = x$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{x}{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{x}{2}$

Paso 3.2.1.2

Divide $\sin (t)$ por $1$ .

$\sin (t) = \frac{x}{2}$

Paso 4

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $t$ del interior de seno.

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Paso 5

Reemplaza $t$ en la ecuación con $y$ para obtener la ecuación en términos de $x$ .

$y = 2 \cos (\arcsin (\frac{x}{2}))$

Paso 6

Elimina los paréntesis.

$y = 2 \cos (\arcsin (\frac{x}{2}))$

Paso 7

Simplifica $2 \cos (\arcsin (\frac{x}{2}))$ .

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Paso 7.1

Escribe la expresión usando exponentes.

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Paso 7.1.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces $\arcsin (\frac{x}{2})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ . Por lo tanto, $\cos (\arcsin (\frac{x}{2}))$ es $\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$y = 2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Paso 7.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = 2 \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Paso 7.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \frac{x}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{(1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})}$

Paso 7.3

Simplifica los términos.

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Paso 7.3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = 2 \sqrt{(\frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})}$

Paso 7.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = 2 \sqrt{\frac{2 + x}{2} (1 - \frac{x}{2})}$

Paso 7.3.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = 2 \sqrt{\frac{2 + x}{2} (\frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

Paso 7.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = 2 \sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot \frac{2 - x}{2}}$

Paso 7.3.5

Multiplica $\frac{2 + x}{2}$ por $\frac{2 - x}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}}$

Paso 7.3.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = 2 \sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}}$

Paso 7.4

Reescribe $\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ .

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Paso 7.4.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(2 + x) (2 - x)$ .

$y = 2 \sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}}$

Paso 7.4.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$y = 2 \sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

Paso 7.4.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = 2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))}$

Paso 7.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = 2 (\frac{1}{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)})$

Paso 7.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ .

$y = 2 \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

Paso 7.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.7.1

Cancela el factor común.

$y = 2 \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

Paso 7.7.2

Reescribe la expresión.

$y = \sqrt{(2 + x) (2 - x)}$