Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 1}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 1}$ no está definida.

$x = 1$

Paso 2

Las asíntotas verticales ocurren en áreas de discontinuidad infinita.

No hay asíntotas verticales

Paso 3

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 4

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Paso 5

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 6

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 6.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 6.1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 1^{2}}{x - 1}$

Paso 6.1.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 6.1.1.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{x - 1}$

Paso 6.1.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Paso 6.1.2

Cancela el factor común de ${(x - 1)}^{2}$ y $x - 1$ .

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $x - 1$ de ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 6.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{(x - 1) (x - 1)}{(x - 1) \cdot 1}$

Paso 6.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 1) (x - 1)}{(x - 1) \cdot 1}$

Paso 6.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 1}{1}$

Paso 6.1.2.2.4

Divide $x - 1$ por $1$ .

$x - 1$

Paso 6.2

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = x - 1$

Paso 7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

No hay asíntotas verticales

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = x - 1$

Paso 8