Precálculo Ejemplos

$2 x^{4} - x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 3 = 0$

Paso 1

Para obtener el número posible de raíces positivas, mira los signos en los coeficientes y cuenta la cantidad de veces que los signos en los coeficientes cambian de positivo a negativo o de negativo a positivo.

$f (x) = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 3$

Paso 2

Como hay $4$ cambios de signos desde el término de mayor orden hasta el de menor orden, hay como máximo $4$ raíces positivas (regla de los signos de Descartes). Los otros números posibles de las raíces negativas se obtienen mediante la resta de los pares de raíces (por ej., $(4 - 2)$ ).

Raíces positivas: $4$ , $2$ , or $0$

Paso 3

Para obtener el número posible de raíces negativas, reemplaza $x$ por $- x$ y repite la comparación del signo.

$f (- x) = 2 {(- x)}^{4} - {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$f (- x) = 2 ({(- 1)}^{4} x^{4}) - {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Paso 4.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- x) = 2 (1 x^{4}) - {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Paso 4.3

Multiplica $x^{4}$ por $1$ .

$f (- x) = 2 x^{4} - {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Paso 4.4

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$f (- x) = 2 x^{4} - ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Paso 4.5

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.5.1

Mueve ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{3} \cdot (- 1 x^{3}) + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Paso 4.5.2

Multiplica ${(- 1)}^{3}$ por $- 1$ .

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Paso 4.5.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{3} \cdot ((- 1) x^{3}) + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Paso 4.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{3 + 1} x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Paso 4.5.3

Suma $3$ y $1$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{4} x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Paso 4.6

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + 1 x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Paso 4.7

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Paso 4.8

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - 5 (- x) + 3$

Paso 4.9

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 (1 x^{2}) - 5 (- x) + 3$

Paso 4.10

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} - 5 (- x) + 3$

Paso 4.11

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 3$

Paso 5

Como hay $0$ cambios de signos desde el término de mayor orden hasta el de menor orden, hay como máximo $0$ raíces negativas (regla de los signos de Descartes).

Raíces negativas: $0$

Paso 6

El número posible de raíces positivas es $4$ , $2$ , or $0$ y el número posible de raíces negativas es $0$ .

Raíces positivas: $4$ , $2$ , or $0$

Raíces negativas: $0$