Precálculo Ejemplos

$\frac{- 7}{y + 8} + \frac{6}{7 - y} = \frac{(- 8) y - 9}{y^{2} + y - 56}$

Paso 1

Factoriza cada término.

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Paso 1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{7}{y + 8} + \frac{6}{7 - y} = \frac{- 8 y - 9}{y^{2} + y - 56}$

Paso 1.2

Factoriza $y^{2} + y - 56$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 56$ y cuya suma es $1$ .

$- 7, 8$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- \frac{7}{y + 8} + \frac{6}{7 - y} = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)}$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y + 8, 7 - y, (y - 7) (y + 8)$

Paso 2.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.3

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.4

El MCM de $1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 2.5

El factor para $y + 8$ es $y + 8$ en sí mismo.

$(y + 8) = y + 8$

$(y + 8)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.6

El factor para $7 - y$ es $7 - y$ en sí mismo.

$(7 - y) = 7 - y$

$(7 - y)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.7

El factor para $y - 7$ es $y - 7$ en sí mismo.

$(y - 7) = y - 7$

$(y - 7)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.8

El factor para $y + 8$ es $y + 8$ en sí mismo.

$(y + 8) = y + 8$

$(y + 8)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.9

El MCM de $y + 8, 7 - y, y - 7, y + 8$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$(y + 8) (7 - y) (y - 7)$

Paso 3

Multiplica cada término en $- \frac{7}{y + 8} + \frac{6}{7 - y} = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)}$ por $(y + 8) (7 - y) (y - 7)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $- \frac{7}{y + 8} + \frac{6}{7 - y} = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)}$ por $(y + 8) (7 - y) (y - 7)$ .

$- \frac{7}{y + 8} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) + \frac{6}{7 - y} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común de $y + 8$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{7}{y + 8}$ al numerador.

$\frac{- 7}{y + 8} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) + \frac{6}{7 - y} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Paso 3.2.1.1.2

Factoriza $y + 8$ de $(y + 8) (7 - y) (y - 7)$ .

$\frac{- 7}{y + 8} ((y + 8) ((7 - y) (y - 7))) + \frac{6}{7 - y} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Paso 3.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 7}{y + 8} ((y + 8) ((7 - y) (y - 7))) + \frac{6}{7 - y} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Paso 3.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- 7 ((7 - y) (y - 7)) + \frac{6}{7 - y} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Paso 3.2.1.2

Reescribe $7$ como $- 1 (- 7)$ .

$- 7 ((- 1 (- 7) - y) (y - 7)) + \frac{6}{7 - y} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Paso 3.2.1.3

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$- 7 ((- 1 (- 7) - (y)) (y - 7)) + \frac{6}{7 - y} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Paso 3.2.1.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 7) - (y)$ .

$- 7 (- 1 (- 7 + y) (y - 7)) + \frac{6}{7 - y} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Paso 3.2.1.5

Reordena los términos.

$- 7 (- 1 (y - 7) (y - 7)) + \frac{6}{7 - y} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Paso 3.2.1.6

Eleva $y - 7$ a la potencia de $1$ .

$- 7 (- 1 ({(y - 7)}^{1} (y - 7))) + \frac{6}{7 - y} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Paso 3.2.1.7

Eleva $y - 7$ a la potencia de $1$ .

$- 7 (- 1 ({(y - 7)}^{1} {(y - 7)}^{1})) + \frac{6}{7 - y} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Paso 3.2.1.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 7 (- 1 {(y - 7)}^{1 + 1}) + \frac{6}{7 - y} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Paso 3.2.1.9

Suma $1$ y $1$ .

$- 7 (- 1 {(y - 7)}^{2}) + \frac{6}{7 - y} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Paso 3.2.1.10

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + \frac{6}{7 - y} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Paso 3.2.1.11

Cancela el factor común de $7 - y$ .

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Paso 3.2.1.11.1

Factoriza $7 - y$ de $(y + 8) (7 - y) (y - 7)$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + \frac{6}{7 - y} ((7 - y) ((y + 8) (y - 7))) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Paso 3.2.1.11.2

Cancela el factor común.

$7 {(y - 7)}^{2} + \frac{6}{7 - y} ((7 - y) ((y + 8) (y - 7))) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Paso 3.2.1.11.3

Reescribe la expresión.

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 ((y + 8) (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Paso 3.2.1.12

Expande $(y + 8) (y - 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 (y (y - 7) + 8 (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Paso 3.2.1.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 (y \cdot y + y \cdot - 7 + 8 (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Paso 3.2.1.12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 (y \cdot y + y \cdot - 7 + 8 y + 8 \cdot - 7) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Paso 3.2.1.13

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.1.13.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.13.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 (y^{2} + y \cdot - 7 + 8 y + 8 \cdot - 7) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Paso 3.2.1.13.1.2

Mueve $- 7$ a la izquierda de $y$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 (y^{2} - 7 \cdot y + 8 y + 8 \cdot - 7) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Paso 3.2.1.13.1.3

Multiplica $8$ por $- 7$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 (y^{2} - 7 y + 8 y - 56) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Paso 3.2.1.13.2

Suma $- 7 y$ y $8 y$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 (y^{2} + y - 56) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Paso 3.2.1.14

Aplica la propiedad distributiva.

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y + 6 \cdot - 56 = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Paso 3.2.1.15

Multiplica $6$ por $- 56$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $(y + 8) (y - 7)$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $(y + 8) (y - 7)$ de $(y - 7) (y + 8)$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = \frac{- 8 y - 9}{(y + 8) (y - 7) (1)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Paso 3.3.1.2

Factoriza $(y + 8) (y - 7)$ de $(y + 8) (7 - y) (y - 7)$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = \frac{- 8 y - 9}{(y + 8) (y - 7) (1)} ((y + 8) (y - 7) (7 - y))$

Paso 3.3.1.3

Cancela el factor común.

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = \frac{- 8 y - 9}{(y + 8) (y - 7) \cdot 1} ((y + 8) (y - 7) (7 - y))$

Paso 3.3.1.4

Reescribe la expresión.

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = (- 8 y - 9) (7 - y)$

Paso 3.3.2

Expande $(- 8 y - 9) (7 - y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = - 8 y (7 - y) - 9 (7 - y)$

Paso 3.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = - 8 y \cdot 7 - 8 y (- y) - 9 (7 - y)$

Paso 3.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = - 8 y \cdot 7 - 8 y (- y) - 9 \cdot 7 - 9 (- y)$

Paso 3.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Multiplica $7$ por $- 8$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = - 56 y - 8 y (- y) - 9 \cdot 7 - 9 (- y)$

Paso 3.3.3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = - 56 y - 8 \cdot - 1 y \cdot y - 9 \cdot 7 - 9 (- y)$

Paso 3.3.3.1.3

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.3.1.3.1

Mueve $y$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = - 56 y - 8 \cdot - 1 (y \cdot y) - 9 \cdot 7 - 9 (- y)$

Paso 3.3.3.1.3.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = - 56 y - 8 \cdot - 1 y^{2} - 9 \cdot 7 - 9 (- y)$

Paso 3.3.3.1.4

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = - 56 y + 8 y^{2} - 9 \cdot 7 - 9 (- y)$

Paso 3.3.3.1.5

Multiplica $- 9$ por $7$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = - 56 y + 8 y^{2} - 63 - 9 (- y)$

Paso 3.3.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 9$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = - 56 y + 8 y^{2} - 63 + 9 y$

Paso 3.3.3.2

Suma $- 56 y$ y $9 y$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = - 47 y + 8 y^{2} - 63$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1.1

Suma $47 y$ a ambos lados de la ecuación.

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 + 47 y = 8 y^{2} - 63$

Paso 4.1.2

Resta $8 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 + 47 y - 8 y^{2} = - 63$

Paso 4.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.3.1

Reescribe ${(y - 7)}^{2}$ como $(y - 7) (y - 7)$ .

$7 ((y - 7) (y - 7)) + 6 y^{2} + 6 y - 336 + 47 y - 8 y^{2} = - 63$

Paso 4.1.3.2

Expande $(y - 7) (y - 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 (y (y - 7) - 7 (y - 7)) + 6 y^{2} + 6 y - 336 + 47 y - 8 y^{2} = - 63$

Paso 4.1.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$7 (y \cdot y + y \cdot - 7 - 7 (y - 7)) + 6 y^{2} + 6 y - 336 + 47 y - 8 y^{2} = - 63$

Paso 4.1.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$7 (y \cdot y + y \cdot - 7 - 7 y - 7 \cdot - 7) + 6 y^{2} + 6 y - 336 + 47 y - 8 y^{2} = - 63$

Paso 4.1.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.3.3.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$7 (y^{2} + y \cdot - 7 - 7 y - 7 \cdot - 7) + 6 y^{2} + 6 y - 336 + 47 y - 8 y^{2} = - 63$

Paso 4.1.3.3.1.2

Mueve $- 7$ a la izquierda de $y$ .

$7 (y^{2} - 7 \cdot y - 7 y - 7 \cdot - 7) + 6 y^{2} + 6 y - 336 + 47 y - 8 y^{2} = - 63$

Paso 4.1.3.3.1.3

Multiplica $- 7$ por $- 7$ .

$7 (y^{2} - 7 y - 7 y + 49) + 6 y^{2} + 6 y - 336 + 47 y - 8 y^{2} = - 63$

Paso 4.1.3.3.2

Resta $7 y$ de $- 7 y$ .

$7 (y^{2} - 14 y + 49) + 6 y^{2} + 6 y - 336 + 47 y - 8 y^{2} = - 63$

Paso 4.1.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$7 y^{2} + 7 (- 14 y) + 7 \cdot 49 + 6 y^{2} + 6 y - 336 + 47 y - 8 y^{2} = - 63$

Paso 4.1.3.5

Simplifica.

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Paso 4.1.3.5.1

Multiplica $- 14$ por $7$ .

$7 y^{2} - 98 y + 7 \cdot 49 + 6 y^{2} + 6 y - 336 + 47 y - 8 y^{2} = - 63$

Paso 4.1.3.5.2

Multiplica $7$ por $49$ .

$7 y^{2} - 98 y + 343 + 6 y^{2} + 6 y - 336 + 47 y - 8 y^{2} = - 63$

Paso 4.1.4

Suma $7 y^{2}$ y $6 y^{2}$ .

$13 y^{2} - 98 y + 343 + 6 y - 336 + 47 y - 8 y^{2} = - 63$

Paso 4.1.5

Resta $8 y^{2}$ de $13 y^{2}$ .

$5 y^{2} - 98 y + 343 + 6 y - 336 + 47 y = - 63$

Paso 4.1.6

Suma $- 98 y$ y $6 y$ .

$5 y^{2} - 92 y + 343 - 336 + 47 y = - 63$

Paso 4.1.7

Suma $- 92 y$ y $47 y$ .

$5 y^{2} - 45 y + 343 - 336 = - 63$

Paso 4.1.8

Resta $336$ de $343$ .

$5 y^{2} - 45 y + 7 = - 63$

Paso 4.2

Suma $63$ a ambos lados de la ecuación.

$5 y^{2} - 45 y + 7 + 63 = 0$

Paso 4.3

Suma $7$ y $63$ .

$5 y^{2} - 45 y + 70 = 0$

Paso 4.4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.4.1

Factoriza $5$ de $5 y^{2} - 45 y + 70$ .

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Paso 4.4.1.1

Factoriza $5$ de $5 y^{2}$ .

$5 (y^{2}) - 45 y + 70 = 0$

Paso 4.4.1.2

Factoriza $5$ de $- 45 y$ .

$5 (y^{2}) + 5 (- 9 y) + 70 = 0$

Paso 4.4.1.3

Factoriza $5$ de $70$ .

$5 y^{2} + 5 (- 9 y) + 5 \cdot 14 = 0$

Paso 4.4.1.4

Factoriza $5$ de $5 y^{2} + 5 (- 9 y)$ .

$5 (y^{2} - 9 y) + 5 \cdot 14 = 0$

Paso 4.4.1.5

Factoriza $5$ de $5 (y^{2} - 9 y) + 5 \cdot 14$ .

$5 (y^{2} - 9 y + 14) = 0$

Paso 4.4.2

Factoriza.

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Paso 4.4.2.1

Factoriza $y^{2} - 9 y + 14$ con el método AC.

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Paso 4.4.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $14$ y cuya suma es $- 9$ .

$- 7, - 2$

Paso 4.4.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$5 ((y - 7) (y - 2)) = 0$

Paso 4.4.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$5 (y - 7) (y - 2) = 0$

Paso 4.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y - 7 = 0$

$y - 2 = 0$

Paso 4.6

Establece $y - 7$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 4.6.1

Establece $y - 7$ igual a $0$ .

$y - 7 = 0$

Paso 4.6.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 7$

Paso 4.7

Establece $y - 2$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 4.7.1

Establece $y - 2$ igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

Paso 4.7.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 2$

Paso 4.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $5 (y - 7) (y - 2) = 0$ verdadera.

$y = 7, 2$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{- 7}{y + 8} + \frac{6}{7 - y} = \frac{(- 8) y - 9}{y^{2} + y - 56}$ sea verdadera.

$y = 2$