Precálculo Ejemplos

$\frac{3 x + 50}{(x - 9) (x + 2)}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 9}$

Paso 1.2

$\frac{A}{x - 9} + \frac{B}{x + 2}$

Paso 1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x - 9) (x + 2)$ .

$\frac{(3 x + 50) (x - 9) (x + 2)}{(x - 9) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 9) (x + 2)}{x - 9} + \frac{(B) (x - 9) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x - 9$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(3 x + 50) (x - 9) (x + 2)}{(x - 9) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 9) (x + 2)}{x - 9} + \frac{(B) (x - 9) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(3 x + 50) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 9) (x + 2)}{x - 9} + \frac{(B) (x - 9) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(3 x + 50) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 9) (x + 2)}{x - 9} + \frac{(B) (x - 9) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.5.2

Divide $3 x + 50$ por $1$ .

$3 x + 50 = \frac{(A) (x - 9) (x + 2)}{x - 9} + \frac{(B) (x - 9) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común de $x - 9$ .

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Paso 1.6.1.1

Cancela el factor común.

$3 x + 50 = \frac{A (x - 9) (x + 2)}{x - 9} + \frac{(B) (x - 9) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.6.1.2

Divide $(A) (x + 2)$ por $1$ .

$3 x + 50 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x - 9) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x + 50 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x - 9) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.6.3

Mueve $2$ a la izquierda de $A$ .

$3 x + 50 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 9) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.6.4

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 1.6.4.1

Cancela el factor común.

$3 x + 50 = A x + 2 A + \frac{(B) (x - 9) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.6.4.2

Divide $(B) (x - 9)$ por $1$ .

$3 x + 50 = A x + 2 A + (B) (x - 9)$

Paso 1.6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x + 50 = A x + 2 A + B x + B \cdot - 9$

Paso 1.6.6

Mueve $- 9$ a la izquierda de $B$ .

$3 x + 50 = A x + 2 A + B x - 9 B$

Paso 1.7

Mueve $2 A$ .

$3 x + 50 = A x + B x + 2 A - 9 B$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$3 = A + B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$50 = 2 A - 9 B$

Paso 2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$3 = A + B$

$50 = 2 A - 9 B$

$3 = A + B$

$50 = 2 A - 9 B$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $3 = A + B$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 3$ .

$A + B = 3$

$50 = 2 A - 9 B$

Paso 3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 3 - B$

$50 = 2 A - 9 B$

$A = 3 - B$

$50 = 2 A - 9 B$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $3 - B$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $50 = 2 A - 9 B$ por $3 - B$ .

$50 = 2 (3 - B) - 9 B$

$A = 3 - B$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (3 - B) - 9 B$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$50 = 2 \cdot 3 + 2 (- B) - 9 B$

$A = 3 - B$

Paso 3.2.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$50 = 6 + 2 (- B) - 9 B$

$A = 3 - B$

Paso 3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$50 = 6 - 2 B - 9 B$

$A = 3 - B$

$50 = 6 - 2 B - 9 B$

$A = 3 - B$

Paso 3.2.2.1.2

Resta $9 B$ de $- 2 B$ .

$50 = 6 - 11 B$

$A = 3 - B$

$50 = 6 - 11 B$

$A = 3 - B$

$50 = 6 - 11 B$

$A = 3 - B$

$50 = 6 - 11 B$

$A = 3 - B$

Paso 3.3

Resuelve $B$ en $50 = 6 - 11 B$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $6 - 11 B = 50$ .

$6 - 11 B = 50$

$A = 3 - B$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$- 11 B = 50 - 6$

$A = 3 - B$

Paso 3.3.2.2

Resta $6$ de $50$ .

$- 11 B = 44$

$A = 3 - B$

$- 11 B = 44$

$A = 3 - B$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $- 11 B = 44$ por $- 11$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $- 11 B = 44$ por $- 11$ .

$\frac{- 11 B}{- 11} = \frac{44}{- 11}$

$A = 3 - B$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 11$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 11 B}{- 11} = \frac{44}{- 11}$

$A = 3 - B$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{44}{- 11}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{44}{- 11}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{44}{- 11}$

$A = 3 - B$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

Divide $44$ por $- 11$ .

$B = - 4$

$A = 3 - B$

$B = - 4$

$A = 3 - B$

$B = - 4$

$A = 3 - B$

$B = - 4$

$A = 3 - B$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $- 4$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 3 - B$ por $- 4$ .

$A = 3 - (- 4)$

$B = - 4$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $3 - (- 4)$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$A = 3 + 4$

$B = - 4$

Paso 3.4.2.1.2

Suma $3$ y $4$ .

$A = 7$

$B = - 4$

$A = 7$

$B = - 4$

$A = 7$

$B = - 4$

$A = 7$

$B = - 4$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = 7, B = - 4$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x - 9} + \frac{B}{x + 2}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{7}{x - 9} + \frac{- 4}{x + 2}$