Precálculo Ejemplos

$\frac{8 x^{3} + 13 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza $x$ de $8 x^{3} + 13 x$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x$ de $8 x^{3}$ .

$\frac{x (8 x^{2}) + 13 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Factoriza $x$ de $13 x$ .

$\frac{x (8 x^{2}) + x \cdot 13}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Factoriza $x$ de $x (8 x^{2}) + x \cdot 13$ .

$\frac{x (8 x^{2} + 13)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 1.3

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 2}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es ${(x^{2} + 2)}^{2}$ .

$\frac{x (8 x^{2} + 13) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Paso 1.5

Simplifica los términos.

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común de ${(x^{2} + 2)}^{2}$ .

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Paso 1.5.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (8 x^{2} + 13) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Paso 1.5.1.2

Divide $x (8 x^{2} + 13)$ por $1$ .

$x (8 x^{2} + 13) = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Paso 1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x (8 x^{2}) + x \cdot 13 = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Paso 1.5.3

Reordena.

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Paso 1.5.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 x \cdot x^{2} + x \cdot 13 = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Paso 1.5.3.2

Mueve $13$ a la izquierda de $x$ .

$8 x \cdot x^{2} + 13 \cdot x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Paso 1.6

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.1

Mueve $x^{2}$ .

$8 (x^{2} x) + 13 \cdot x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Paso 1.6.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$8 (x^{2} x) + 13 \cdot x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Paso 1.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 x^{2 + 1} + 13 \cdot x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Paso 1.6.3

Suma $2$ y $1$ .

$8 x^{3} + 13 \cdot x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

$8 x^{3} + 13 x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Paso 1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1

Cancela el factor común de ${(x^{2} + 2)}^{2}$ .

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Paso 1.7.1.1

Cancela el factor común.

$8 x^{3} + 13 x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Paso 1.7.1.2

Divide $A x + B$ por $1$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Paso 1.7.2

Cancela el factor común de ${(x^{2} + 2)}^{2}$ y $x^{2} + 2$ .

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Paso 1.7.2.1

Factoriza $x^{2} + 2$ de $(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + \frac{(x^{2} + 2) ((C x + D) (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Paso 1.7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.7.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + \frac{(x^{2} + 2) ((C x + D) (x^{2} + 2))}{(x^{2} + 2) \cdot 1}$

Paso 1.7.2.2.2

Cancela el factor común.

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + \frac{(x^{2} + 2) ((C x + D) (x^{2} + 2))}{(x^{2} + 2) \cdot 1}$

Paso 1.7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 2)}{1}$

Paso 1.7.2.2.4

Divide $(C x + D) (x^{2} + 2)$ por $1$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + (C x + D) (x^{2} + 2)$

Paso 1.7.3

Expande $(C x + D) (x^{2} + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.7.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C x (x^{2} + 2) + D (x^{2} + 2)$

Paso 1.7.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 2 + D (x^{2} + 2)$

Paso 1.7.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 2 + D x^{2} + D \cdot 2$

Paso 1.7.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.4.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.7.4.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 2 + D x^{2} + D \cdot 2$

Paso 1.7.4.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.7.4.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 2 + D x^{2} + D \cdot 2$

Paso 1.7.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C x^{2 + 1} + C x \cdot 2 + D x^{2} + D \cdot 2$

Paso 1.7.4.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C x^{3} + C x \cdot 2 + D x^{2} + D \cdot 2$

Paso 1.7.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $C x$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C x^{3} + 2 \cdot (C x) + D x^{2} + D \cdot 2$

Paso 1.7.4.3

Mueve $2$ a la izquierda de $D$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C x^{3} + 2 C x + D x^{2} + 2 D$

Paso 1.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.8.1

Mueve $B$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + C x^{3} + 2 C x + D x^{2} + B + 2 D$

Paso 1.8.2

Mueve $2 C x$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + C x^{3} + D x^{2} + 2 C x + B + 2 D$

Paso 1.8.3

Mueve $A x$ .

$8 x^{3} + 13 x = C x^{3} + D x^{2} + A x + 2 C x + B + 2 D$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{3}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$8 = C$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = D$

Paso 2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$13 = A + 2 C$

Paso 2.4

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = B + 2 D$

Paso 2.5

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$8 = C$

$0 = D$

$13 = A + 2 C$

$0 = B + 2 D$

$8 = C$

$0 = D$

$13 = A + 2 C$

$0 = B + 2 D$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $C = 8$ .

$C = 8$

$0 = D$

$13 = A + 2 C$

$0 = B + 2 D$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $C$ por $8$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reescribe la ecuación como $D = 0$ .

$D = 0$

$C = 8$

$13 = A + 2 C$

$0 = B + 2 D$

Paso 3.2.2

Reemplaza todos los casos de $C$ en $13 = A + 2 C$ por $8$ .

$13 = A + 2 (8)$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Multiplica $2$ por $8$ .

$13 = A + 16$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

$13 = A + 16$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

$13 = A + 16$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $D$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $A + 16 = 13$ .

$A + 16 = 13$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 13 - 16$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

Paso 3.3.2.2

Resta $16$ de $13$ .

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $D$ en $0 = B + 2 D$ por $0$ .

$0 = B + 2 (0)$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

Paso 3.3.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.4.1

Simplifica $B + 2 (0)$ .

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Paso 3.3.4.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$0 = B + 0$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

Paso 3.3.4.1.2

Suma $B$ y $0$ .

$0 = B$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

Paso 3.4

Reescribe la ecuación como $B = 0$ .

$B = 0$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

Paso 3.5

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = 0 A = - 3 D = 0 C = 8$

Paso 3.6

Enumera todas las soluciones.

$B = 0, A = - 3, D = 0, C = 8$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A x + B}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 2}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ , $C$ y $D$ .

$\frac{- 3 x + 0}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{8 x + 0}{x^{2} + 2}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Suma $(- 3) \cdot x$ y $0$ .

$\frac{- 3 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(8) \cdot x + 0}{x^{2} + 2}$

Paso 5.2

Suma $(8) \cdot x$ y $0$ .

$\frac{- 3 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{8 x}{x^{2} + 2}$