Precálculo Ejemplos

$\frac{8 x + 4}{(x + 4) (4 x - 1)}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza $4$ de $8 x + 4$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $4$ de $8 x$ .

$\frac{4 (2 x) + 4}{(x + 4) (4 x - 1)}$

Paso 1.1.2

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 (2 x) + 4 (1)}{(x + 4) (4 x - 1)}$

Paso 1.1.3

Factoriza $4$ de $4 (2 x) + 4 (1)$ .

$\frac{4 (2 x + 1)}{(x + 4) (4 x - 1)}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 4}$

Paso 1.3

$\frac{A}{x + 4} + \frac{B}{4 x - 1}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x + 4) (4 x - 1)$ .

$\frac{4 (2 x + 1) (x + 4) (4 x - 1)}{(x + 4) (4 x - 1)} = \frac{(A) (x + 4) (4 x - 1)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (4 x - 1)}{4 x - 1}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (2 x + 1) (x + 4) (4 x - 1)}{(x + 4) (4 x - 1)} = \frac{(A) (x + 4) (4 x - 1)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (4 x - 1)}{4 x - 1}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 (2 x + 1) (4 x - 1)}{4 x - 1} = \frac{(A) (x + 4) (4 x - 1)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (4 x - 1)}{4 x - 1}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $4 x - 1$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (2 x + 1) (4 x - 1)}{4 x - 1} = \frac{(A) (x + 4) (4 x - 1)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (4 x - 1)}{4 x - 1}$

Paso 1.6.2

Divide $4 (2 x + 1)$ por $1$ .

$4 (2 x + 1) = \frac{(A) (x + 4) (4 x - 1)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (4 x - 1)}{4 x - 1}$

Paso 1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (2 x) + 4 \cdot 1 = \frac{(A) (x + 4) (4 x - 1)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (4 x - 1)}{4 x - 1}$

Paso 1.8

Multiplica.

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Paso 1.8.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 x + 4 \cdot 1 = \frac{(A) (x + 4) (4 x - 1)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (4 x - 1)}{4 x - 1}$

Paso 1.8.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$8 x + 4 = \frac{(A) (x + 4) (4 x - 1)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (4 x - 1)}{4 x - 1}$

Paso 1.9

Simplifica cada término.

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Paso 1.9.1

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 1.9.1.1

Cancela el factor común.

$8 x + 4 = \frac{A (x + 4) (4 x - 1)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (4 x - 1)}{4 x - 1}$

Paso 1.9.1.2

Divide $(A) (4 x - 1)$ por $1$ .

$8 x + 4 = (A) (4 x - 1) + \frac{(B) (x + 4) (4 x - 1)}{4 x - 1}$

Paso 1.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$8 x + 4 = A (4 x) + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 4) (4 x - 1)}{4 x - 1}$

Paso 1.9.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 x + 4 = 4 A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 4) (4 x - 1)}{4 x - 1}$

Paso 1.9.4

Mueve $- 1$ a la izquierda de $A$ .

$8 x + 4 = 4 A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 4) (4 x - 1)}{4 x - 1}$

Paso 1.9.5

Reescribe $- 1 A$ como $- A$ .

$8 x + 4 = 4 A x - A + \frac{(B) (x + 4) (4 x - 1)}{4 x - 1}$

Paso 1.9.6

Cancela el factor común de $4 x - 1$ .

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Paso 1.9.6.1

Cancela el factor común.

$8 x + 4 = 4 A x - A + \frac{(B) (x + 4) (4 x - 1)}{4 x - 1}$

Paso 1.9.6.2

Divide $(B) (x + 4)$ por $1$ .

$8 x + 4 = 4 A x - A + (B) (x + 4)$

Paso 1.9.7

Aplica la propiedad distributiva.

$8 x + 4 = 4 A x - A + B x + B \cdot 4$

Paso 1.9.8

Mueve $4$ a la izquierda de $B$ .

$8 x + 4 = 4 A x - A + B x + 4 B$

Paso 1.10

Simplifica la expresión.

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Paso 1.10.1

Mueve $A$ .

$8 x + 4 = 4 x A - A + B x + 4 B$

Paso 1.10.2

Reordena $B$ y $x$ .

$8 x + 4 = 4 x A - A + B x + 4 B$

Paso 1.10.3

Mueve $- A$ .

$8 x + 4 = 4 x A + B x - A + 4 B$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$8 = 4 A + B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$4 = - 1 A + 4 B$

Paso 2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$8 = 4 A + B$

$4 = - 1 A + 4 B$

$8 = 4 A + B$

$4 = - 1 A + 4 B$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $B$ en $8 = 4 A + B$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $4 A + B = 8$ .

$4 A + B = 8$

$4 = - 1 A + 4 B$

Paso 3.1.2

Resta $4 A$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 8 - 4 A$

$4 = - 1 A + 4 B$

$B = 8 - 4 A$

$4 = - 1 A + 4 B$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $B$ por $8 - 4 A$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $4 = - 1 A + 4 B$ por $8 - 4 A$ .

$4 = - 1 A + 4 (8 - 4 A)$

$B = 8 - 4 A$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $- 1 A + 4 (8 - 4 A)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Reescribe $- 1 A$ como $- A$ .

$4 = - A + 4 (8 - 4 A)$

$B = 8 - 4 A$

Paso 3.2.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 = - A + 4 \cdot 8 + 4 (- 4 A)$

$B = 8 - 4 A$

Paso 3.2.2.1.1.3

Multiplica $4$ por $8$ .

$4 = - A + 32 + 4 (- 4 A)$

$B = 8 - 4 A$

Paso 3.2.2.1.1.4

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$4 = - A + 32 - 16 A$

$B = 8 - 4 A$

$4 = - A + 32 - 16 A$

$B = 8 - 4 A$

Paso 3.2.2.1.2

Resta $16 A$ de $- A$ .

$4 = - 17 A + 32$

$B = 8 - 4 A$

$4 = - 17 A + 32$

$B = 8 - 4 A$

$4 = - 17 A + 32$

$B = 8 - 4 A$

$4 = - 17 A + 32$

$B = 8 - 4 A$

Paso 3.3

Resuelve $A$ en $4 = - 17 A + 32$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 17 A + 32 = 4$ .

$- 17 A + 32 = 4$

$B = 8 - 4 A$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $32$ de ambos lados de la ecuación.

$- 17 A = 4 - 32$

$B = 8 - 4 A$

Paso 3.3.2.2

Resta $32$ de $4$ .

$- 17 A = - 28$

$B = 8 - 4 A$

$- 17 A = - 28$

$B = 8 - 4 A$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $- 17 A = - 28$ por $- 17$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $- 17 A = - 28$ por $- 17$ .

$\frac{- 17 A}{- 17} = \frac{- 28}{- 17}$

$B = 8 - 4 A$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 17$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 17 A}{- 17} = \frac{- 28}{- 17}$

$B = 8 - 4 A$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 28}{- 17}$

$B = 8 - 4 A$

$A = \frac{- 28}{- 17}$

$B = 8 - 4 A$

$A = \frac{- 28}{- 17}$

$B = 8 - 4 A$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$A = \frac{28}{17}$

$B = 8 - 4 A$

$A = \frac{28}{17}$

$B = 8 - 4 A$

$A = \frac{28}{17}$

$B = 8 - 4 A$

$A = \frac{28}{17}$

$B = 8 - 4 A$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $A$ por $\frac{28}{17}$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $B = 8 - 4 A$ por $\frac{28}{17}$ .

$B = 8 - 4 (\frac{28}{17})$

$A = \frac{28}{17}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $8 - 4 (\frac{28}{17})$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1.1

Multiplica $- 4 (\frac{28}{17})$ .

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Paso 3.4.2.1.1.1.1

Combina $- 4$ y $\frac{28}{17}$ .

$B = 8 + \frac{- 4 \cdot 28}{17}$

$A = \frac{28}{17}$

Paso 3.4.2.1.1.1.2

Multiplica $- 4$ por $28$ .

$B = 8 + \frac{- 112}{17}$

$A = \frac{28}{17}$

$B = 8 + \frac{- 112}{17}$

$A = \frac{28}{17}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$B = 8 - \frac{112}{17}$

$A = \frac{28}{17}$

$B = 8 - \frac{112}{17}$

$A = \frac{28}{17}$

Paso 3.4.2.1.2

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{17}{17}$ .

$B = 8 \cdot \frac{17}{17} - \frac{112}{17}$

$A = \frac{28}{17}$

Paso 3.4.2.1.3

Combina $8$ y $\frac{17}{17}$ .

$B = \frac{8 \cdot 17}{17} - \frac{112}{17}$

$A = \frac{28}{17}$

Paso 3.4.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$B = \frac{8 \cdot 17 - 112}{17}$

$A = \frac{28}{17}$

Paso 3.4.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.2.1.5.1

Multiplica $8$ por $17$ .

$B = \frac{136 - 112}{17}$

$A = \frac{28}{17}$

Paso 3.4.2.1.5.2

Resta $112$ de $136$ .

$B = \frac{24}{17}$

$A = \frac{28}{17}$

$B = \frac{24}{17}$

$A = \frac{28}{17}$

$B = \frac{24}{17}$

$A = \frac{28}{17}$

$B = \frac{24}{17}$

$A = \frac{28}{17}$

$B = \frac{24}{17}$

$A = \frac{28}{17}$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = \frac{24}{17}, A = \frac{28}{17}$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x + 4} + \frac{B}{4 x - 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{28}{17}}{x + 4} + \frac{\frac{24}{17}}{4 x - 1}$