Precálculo Ejemplos

$x^{2} + y^{2} - 3 x + 8 y = 20$

Paso 1

Completa el cuadrado de $x^{2} - 3 x$ .

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Paso 1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 3$

$c = 0$

Paso 1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$d = \frac{- 3}{2}$

Paso 1.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{3}{2}$

Paso 1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

Paso 1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{9}{4}$

Paso 1.4.2.2

Resta $\frac{9}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{9}{4}$

Paso 1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

Paso 2

Sustituye ${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ por $x^{2} - 3 x$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - 3 x + 8 y = 20$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} + y^{2} + 8 y = 20$

Paso 3

Mueve $- \frac{9}{4}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{9}{4}$ a ambos lados.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + y^{2} + 8 y = 20 + \frac{9}{4}$

Paso 4

Completa el cuadrado de $y^{2} + 8 y$ .

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Paso 4.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 8$

$c = 0$

Paso 4.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 4.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Paso 4.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{4}{1}$

Paso 4.3.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$d = 4$

Paso 4.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 4.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.2.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Paso 4.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Paso 4.4.2.1.3

Divide $64$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Paso 4.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$e = 0 - 16$

Paso 4.4.2.2

Resta $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Paso 4.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y + 4)}^{2} - 16$ .

${(y + 4)}^{2} - 16$

Paso 5

Sustituye ${(y + 4)}^{2} - 16$ por $y^{2} + 8 y$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - 3 x + 8 y = 20$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} - 16 = 20 + \frac{9}{4}$

Paso 6

Mueve $- 16$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $16$ a ambos lados.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 20 + \frac{9}{4} + 16$

Paso 7

Simplifica $20 + \frac{9}{4} + 16$ .

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Paso 7.1

Obtén el denominador común

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Paso 7.1.1

Escribe $20$ como una fracción con el denominador $1$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{20}{1} + \frac{9}{4} + 16$

Paso 7.1.2

Multiplica $\frac{20}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{20}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4} + 16$

Paso 7.1.3

Multiplica $\frac{20}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{20 \cdot 4}{4} + \frac{9}{4} + 16$

Paso 7.1.4

Escribe $16$ como una fracción con el denominador $1$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{20 \cdot 4}{4} + \frac{9}{4} + \frac{16}{1}$

Paso 7.1.5

Multiplica $\frac{16}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{20 \cdot 4}{4} + \frac{9}{4} + \frac{16}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 7.1.6

Multiplica $\frac{16}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{20 \cdot 4}{4} + \frac{9}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}$

Paso 7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{20 \cdot 4 + 9 + 16 \cdot 4}{4}$

Paso 7.3

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1

Multiplica $20$ por $4$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{80 + 9 + 16 \cdot 4}{4}$

Paso 7.3.2

Multiplica $16$ por $4$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{80 + 9 + 64}{4}$

Paso 7.4

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 7.4.1

Suma $80$ y $9$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{89 + 64}{4}$

Paso 7.4.2

Suma $89$ y $64$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{153}{4}$