Precálculo Ejemplos

$x^{2} + 25 y^{2} - 12 x - 100 y + 111 = 0$

Paso 1

Resta $111$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 25 y^{2} - 12 x - 100 y = - 111$

Paso 2

Completa el cuadrado de $x^{2} - 12 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 12$

$c = 0$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común de $- 12$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)}$

Paso 2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 6}{1}$

Paso 2.3.2.2.4

Divide $- 6$ por $1$ .

$d = - 6$

Paso 2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1.1

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{144}{4}$

Paso 2.4.2.1.3

Divide $144$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Paso 2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $36$ .

$e = 0 - 36$

Paso 2.4.2.2

Resta $36$ de $0$ .

$e = - 36$

Paso 2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - 6)}^{2} - 36$ .

${(x - 6)}^{2} - 36$

Paso 3

Sustituye ${(x - 6)}^{2} - 36$ por $x^{2} - 12 x$ en la ecuación $x^{2} + 25 y^{2} - 12 x - 100 y = - 111$ .

${(x - 6)}^{2} - 36 + 25 y^{2} - 100 y = - 111$

Paso 4

Mueve $- 36$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $36$ a ambos lados.

${(x - 6)}^{2} + 25 y^{2} - 100 y = - 111 + 36$

Paso 5

Completa el cuadrado de $25 y^{2} - 100 y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 25$

$b = - 100$

$c = 0$

Paso 5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 100}{2 \cdot 25}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 100$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 100$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (25)}$

Paso 5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Paso 5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 50}{25}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $- 50$ y $25$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.1

Factoriza $25$ de $- 50$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25}$

Paso 5.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.2.1

Factoriza $25$ de $25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 (1)}$

Paso 5.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 1}$

Paso 5.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 2}{1}$

Paso 5.3.2.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Paso 5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1.1

Eleva $- 100$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

Paso 5.4.2.1.3

Divide $10000$ por $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Paso 5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $100$ .

$e = 0 - 100$

Paso 5.4.2.2

Resta $100$ de $0$ .

$e = - 100$

Paso 5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $25 {(y - 2)}^{2} - 100$ .

$25 {(y - 2)}^{2} - 100$

Paso 6

Sustituye $25 {(y - 2)}^{2} - 100$ por $25 y^{2} - 100 y$ en la ecuación $x^{2} + 25 y^{2} - 12 x - 100 y = - 111$ .

${(x - 6)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} - 100 = - 111 + 36$

Paso 7

Mueve $- 100$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $100$ a ambos lados.

${(x - 6)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} = - 111 + 36 + 100$

Paso 8

Simplifica $- 111 + 36 + 100$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Suma $- 111$ y $36$ .

${(x - 6)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} = - 75 + 100$

Paso 8.2

Suma $- 75$ y $100$ .

${(x - 6)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} = 25$

Paso 9

Divide cada término por $25$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{{(x - 6)}^{2}}{25} + \frac{25 {(y - 2)}^{2}}{25} = \frac{25}{25}$

Paso 10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2}}{25} + {(y - 2)}^{2} = 1$