Precálculo Ejemplos

${(2 x - 1)}^{5}$

Paso 1

El triángulo de Pascal se puede visualizar de la siguiente manera:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

El triángulo puede usarse para calcular los coeficientes de la expansión de ${(a + b)}^{n}$ al tomar el exponente $n$ y sumar $1$ . Los coeficientes se corresponderán con la línea $n + 1$ del triángulo. Para ${(2 x - 1)}^{5}$ , $n = 5$ de modo que los coeficientes de la expansión se corresponderán con la línea $6$ .

Paso 2

La expansión sigue la regla ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Los valores de los coeficientes, desde el triángulo, son $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a$ , $2 x$ y $b$ en la expresión $- 1$ .

$1 {(2 x)}^{5} {(- 1)}^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(2 x)}^{5}$ por $1$ .

${(2 x)}^{5} {(- 1)}^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$2^{5} x^{5} {(- 1)}^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.3

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$32 x^{5} {(- 1)}^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$32 x^{5} \cdot 1 + 5 {(2 x)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.5

Multiplica $32$ por $1$ .

$32 x^{5} + 5 {(2 x)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.6

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$32 x^{5} + 5 (2^{4} x^{4}) {(- 1)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.7

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$32 x^{5} + 5 (16 x^{4}) {(- 1)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.8

Multiplica $16$ por $5$ .

$32 x^{5} + 80 x^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.9

Evalúa el exponente.

$32 x^{5} + 80 x^{4} \cdot - 1 + 10 {(2 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.10

Multiplica $- 1$ por $80$ .

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 10 {(2 x)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.11

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 10 (2^{3} x^{3}) {(- 1)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.12

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 10 (8 x^{3}) {(- 1)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.13

Multiplica $8$ por $10$ .

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.14

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} \cdot 1 + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.15

Multiplica $80$ por $1$ .

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} + 10 {(2 x)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.16

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} + 10 (2^{2} x^{2}) {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.17

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} + 10 (4 x^{2}) {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.18

Multiplica $4$ por $10$ .

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} + 40 x^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.19

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} + 40 x^{2} \cdot - 1 + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.20

Multiplica $- 1$ por $40$ .

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} - 40 x^{2} + 5 {(2 x)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.21

Simplifica.

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} - 40 x^{2} + 5 (2 x) {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.22

Multiplica $2$ por $5$ .

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} - 40 x^{2} + 10 x {(- 1)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.23

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} - 40 x^{2} + 10 x \cdot 1 + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.24

Multiplica $10$ por $1$ .

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} - 40 x^{2} + 10 x + 1 {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.25

Multiplica ${(2 x)}^{0}$ por $1$ .

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} - 40 x^{2} + 10 x + {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.26

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} - 40 x^{2} + 10 x + 2^{0} x^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.27

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} - 40 x^{2} + 10 x + 1 x^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.28

Multiplica $x^{0}$ por $1$ .

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} - 40 x^{2} + 10 x + x^{0} {(- 1)}^{5}$

Paso 4.29

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} - 40 x^{2} + 10 x + 1 {(- 1)}^{5}$

Paso 4.30

Multiplica ${(- 1)}^{5}$ por $1$ .

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} - 40 x^{2} + 10 x + {(- 1)}^{5}$

Paso 4.31

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} - 40 x^{2} + 10 x - 1$