Precálculo Ejemplos

$f (x) = (5 x^{5} + 5) (- 2 x^{5} - 3)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 5 x^{5} + 5$ y $g (x) = - 2 x^{5} - 3$ .

$(5 x^{5} + 5) \frac{d}{d x} [- 2 x^{5} - 3] + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 x^{5} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(5 x^{5} + 5) (\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$ .

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Paso 3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{5}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

Paso 3.3

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4} + 0) + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

Paso 4.2

Suma $- 10 x^{4}$ y $0$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

Paso 4.3

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{5} + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (\frac{d}{d x} [5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 5

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{5}]$ .

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Paso 5.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{5}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (5 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (5 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 5.3

Multiplica $5$ por $5$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (25 x^{4} + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 6

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 6.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (25 x^{4} + 0)$

Paso 6.2

Suma $25 x^{4}$ y $0$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (25 x^{4})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{5} (- 10 x^{4}) + 5 (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (25 x^{4})$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{5} (- 10 x^{4}) + 5 (- 10 x^{4}) - 2 x^{5} (25 x^{4}) - 3 (25 x^{4})$

Paso 7.3

Combina los términos.

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Paso 7.3.1

Multiplica $- 10$ por $5$ .

$- 50 x^{5} x^{4} + 5 (- 10 x^{4}) - 2 x^{5} (25 x^{4}) - 3 (25 x^{4})$

Paso 7.3.2

Multiplica $x^{5}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.3.2.1

Mueve $x^{4}$ .

$- 50 (x^{4} x^{5}) + 5 (- 10 x^{4}) - 2 x^{5} (25 x^{4}) - 3 (25 x^{4})$

Paso 7.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 50 x^{4 + 5} + 5 (- 10 x^{4}) - 2 x^{5} (25 x^{4}) - 3 (25 x^{4})$

Paso 7.3.2.3

Suma $4$ y $5$ .

$- 50 x^{9} + 5 (- 10 x^{4}) - 2 x^{5} (25 x^{4}) - 3 (25 x^{4})$

Paso 7.3.3

Multiplica $- 10$ por $5$ .

$- 50 x^{9} - 50 x^{4} - 2 x^{5} (25 x^{4}) - 3 (25 x^{4})$

Paso 7.3.4

Multiplica $25$ por $- 2$ .

$- 50 x^{9} - 50 x^{4} - 50 x^{5} x^{4} - 3 (25 x^{4})$

Paso 7.3.5

Multiplica $x^{5}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.3.5.1

Mueve $x^{4}$ .

$- 50 x^{9} - 50 x^{4} - 50 (x^{4} x^{5}) - 3 (25 x^{4})$

Paso 7.3.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 50 x^{9} - 50 x^{4} - 50 x^{4 + 5} - 3 (25 x^{4})$

Paso 7.3.5.3

Suma $4$ y $5$ .

$- 50 x^{9} - 50 x^{4} - 50 x^{9} - 3 (25 x^{4})$

Paso 7.3.6

Multiplica $25$ por $- 3$ .

$- 50 x^{9} - 50 x^{4} - 50 x^{9} - 75 x^{4}$

Paso 7.3.7

Resta $50 x^{9}$ de $- 50 x^{9}$ .

$- 100 x^{9} - 50 x^{4} - 75 x^{4}$

Paso 7.3.8

Resta $75 x^{4}$ de $- 50 x^{4}$ .

$- 100 x^{9} - 125 x^{4}$