Precálculo Ejemplos

$6 x^{2} - 12 x + 54 y^{2} + 108 y - 426 = 0$

Paso 1

Suma $426$ a ambos lados de la ecuación.

$6 x^{2} - 12 x + 54 y^{2} + 108 y = 426$

Paso 2

Completa el cuadrado de $6 x^{2} - 12 x$ .

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Paso 2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 6$

$b = - 12$

$c = 0$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 6}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 12$ y $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 6}$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (6)}$

Paso 2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 6}$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 6}{6}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 6$ y $6$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Factoriza $6$ de $- 6$ .

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6}$

Paso 2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.2.2.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 (1)}$

Paso 2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 1}$

Paso 2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{1}$

Paso 2.3.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 6}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 6}$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $6$ .

$e = 0 - \frac{144}{24}$

Paso 2.4.2.1.3

Divide $144$ por $24$ .

$e = 0 - 1 \cdot 6$

Paso 2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$e = 0 - 6$

Paso 2.4.2.2

Resta $6$ de $0$ .

$e = - 6$

Paso 2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $6 {(x - 1)}^{2} - 6$ .

$6 {(x - 1)}^{2} - 6$

Paso 3

Sustituye $6 {(x - 1)}^{2} - 6$ por $6 x^{2} - 12 x$ en la ecuación $6 x^{2} - 12 x + 54 y^{2} + 108 y = 426$ .

$6 {(x - 1)}^{2} - 6 + 54 y^{2} + 108 y = 426$

Paso 4

Mueve $- 6$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $6$ a ambos lados.

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 y^{2} + 108 y = 426 + 6$

Paso 5

Completa el cuadrado de $54 y^{2} + 108 y$ .

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Paso 5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 54$

$b = 108$

$c = 0$

Paso 5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{108}{2 \cdot 54}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $108$ y $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $108$ .

$d = \frac{2 \cdot 54}{2 \cdot 54}$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 54$ .

$d = \frac{2 \cdot 54}{2 (54)}$

Paso 5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 54}{2 \cdot 54}$

Paso 5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{54}{54}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $54$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{54}{54}$

Paso 5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$d = 1$

Paso 5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{108^{2}}{4 \cdot 54}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Eleva $108$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{11664}{4 \cdot 54}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $54$ .

$e = 0 - \frac{11664}{216}$

Paso 5.4.2.1.3

Divide $11664$ por $216$ .

$e = 0 - 1 \cdot 54$

Paso 5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $54$ .

$e = 0 - 54$

Paso 5.4.2.2

Resta $54$ de $0$ .

$e = - 54$

Paso 5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $54 {(y + 1)}^{2} - 54$ .

$54 {(y + 1)}^{2} - 54$

Paso 6

Sustituye $54 {(y + 1)}^{2} - 54$ por $54 y^{2} + 108 y$ en la ecuación $6 x^{2} - 12 x + 54 y^{2} + 108 y = 426$ .

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 {(y + 1)}^{2} - 54 = 426 + 6$

Paso 7

Mueve $- 54$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $54$ a ambos lados.

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 {(y + 1)}^{2} = 426 + 6 + 54$

Paso 8

Simplifica $426 + 6 + 54$ .

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Paso 8.1

Suma $426$ y $6$ .

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 {(y + 1)}^{2} = 432 + 54$

Paso 8.2

Suma $432$ y $54$ .

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 {(y + 1)}^{2} = 486$

Paso 9

Divide cada término por $486$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{6 {(x - 1)}^{2}}{486} + \frac{54 {(y + 1)}^{2}}{486} = \frac{486}{486}$

Paso 10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{81} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{9} = 1$

Paso 11

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 12

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 9$

$b = 3$

$k = - 1$

$h = 1$

Paso 13

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 14

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(9)}^{2} - {(3)}^{2}}}{9}$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Simplifica el numerador.

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Paso 15.1.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{81 - 3^{2}}}{9}$

Paso 15.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{81 - 1 \cdot 9}}{9}$

Paso 15.1.3

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{\sqrt{81 - 9}}{9}$

Paso 15.1.4

Resta $9$ de $81$ .

$\frac{\sqrt{72}}{9}$

Paso 15.1.5

Reescribe $72$ como $6^{2} \cdot 2$ .

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Paso 15.1.5.1

Factoriza $36$ de $72$ .

$\frac{\sqrt{36 (2)}}{9}$

Paso 15.1.5.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2} \cdot 2}}{9}$

Paso 15.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{6 \sqrt{2}}{9}$

Paso 15.2

Cancela el factor común de $6$ y $9$ .

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Paso 15.2.1

Factoriza $3$ de $6 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 (2 \sqrt{2})}{9}$

Paso 15.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 15.2.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{3 (2 \sqrt{2})}{3 (3)}$

Paso 15.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (2 \sqrt{2})}{3 \cdot 3}$

Paso 15.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Paso 16

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Forma decimal:

$0.94280904 \dots$

Paso 17