Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} + 46 x^{2} + 98 x - 147$

Paso 1

Establece $x^{4} + 2 x^{3} + 46 x^{2} + 98 x - 147$ igual a $0$ .

$x^{4} + 2 x^{3} + 46 x^{2} + 98 x - 147 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$2 x^{3} + 98 x + x^{4} + 46 x^{2} - 147 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $2 x$ de $2 x^{3} + 98 x$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) + 98 x + x^{4} + 46 x^{2} - 147 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $2 x$ de $98 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (49) + x^{4} + 46 x^{2} - 147 = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{2}) + 2 x (49)$ .

$2 x (x^{2} + 49) + x^{4} + 46 x^{2} - 147 = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 x (x^{2} + 49) + {(x^{2})}^{2} + 46 x^{2} - 147 = 0$

Paso 2.1.4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$2 x (x^{2} + 49) + u^{2} + 46 u - 147 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $u^{2} + 46 u - 147$ con el método AC.

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Paso 2.1.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 147$ y cuya suma es $46$ .

$- 3, 49$

Paso 2.1.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$2 x (x^{2} + 49) + (u - 3) (u + 49) = 0$

Paso 2.1.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$2 x (x^{2} + 49) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 49) = 0$

Paso 2.1.7

Factoriza $x^{2} + 49$ de $2 x (x^{2} + 49) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 49)$ .

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Paso 2.1.7.1

Factoriza $x^{2} + 49$ de $2 x (x^{2} + 49)$ .

$(x^{2} + 49) (2 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 49) = 0$

Paso 2.1.7.2

Factoriza $x^{2} + 49$ de $(x^{2} - 3) (x^{2} + 49)$ .

$(x^{2} + 49) (2 x) + (x^{2} + 49) (x^{2} - 3) = 0$

Paso 2.1.7.3

Factoriza $x^{2} + 49$ de $(x^{2} + 49) (2 x) + (x^{2} + 49) (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} + 49) (2 x + x^{2} - 3) = 0$

Paso 2.1.8

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x^{2} + 49) (2 u + u^{2} - 3) = 0$

Paso 2.1.9

Factoriza $2 u + u^{2} - 3$ con el método AC.

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Paso 2.1.9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $2$ .

$- 1, 3$

Paso 2.1.9.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x^{2} + 49) ((u - 1) (u + 3)) = 0$

Paso 2.1.10

Factoriza.

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Paso 2.1.10.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x^{2} + 49) ((x - 1) (x + 3)) = 0$

Paso 2.1.10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} + 49) (x - 1) (x + 3) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} + 49 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 2.3

Establece $x^{2} + 49$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x^{2} + 49$ igual a $0$ .

$x^{2} + 49 = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $x^{2} + 49 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Resta $49$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 49$

Paso 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 49}$

Paso 2.3.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 49}$ .

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Paso 2.3.2.3.1

Reescribe $- 49$ como $- 1 (49)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (49)}$

Paso 2.3.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (49)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$

Paso 2.3.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{49}$

Paso 2.3.2.3.4

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{7^{2}}$

Paso 2.3.2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 7$

Paso 2.3.2.3.6

Mueve $7$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 7 i$

Paso 2.3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 7 i$

Paso 2.3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 7 i$

Paso 2.3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 7 i, - 7 i$

Paso 2.4

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} + 49) (x - 1) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 7 i, - 7 i, 1, - 3$

Paso 3