Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 7 x^{3} + 8 x^{2} + 28 x - 48$

Paso 1

Establece $x^{4} - 7 x^{3} + 8 x^{2} + 28 x - 48$ igual a $0$ .

$x^{4} - 7 x^{3} + 8 x^{2} + 28 x - 48 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$- 7 x^{3} + 28 x + x^{4} + 8 x^{2} - 48 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $- 7 x$ de $- 7 x^{3} + 28 x$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $- 7 x$ de $- 7 x^{3}$ .

$- 7 x \cdot x^{2} + 28 x + x^{4} + 8 x^{2} - 48 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $- 7 x$ de $28 x$ .

$- 7 x \cdot x^{2} - 7 x \cdot - 4 + x^{4} + 8 x^{2} - 48 = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $- 7 x$ de $- 7 x (x^{2}) - 7 x (- 4)$ .

$- 7 x (x^{2} - 4) + x^{4} + 8 x^{2} - 48 = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2^{2}) + x^{4} + 8 x^{2} - 48 = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza.

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Paso 2.1.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$- 7 x ((x + 2) (x - 2)) + x^{4} + 8 x^{2} - 48 = 0$

Paso 2.1.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 7 x (x + 2) (x - 2) + x^{4} + 8 x^{2} - 48 = 0$

Paso 2.1.5

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 7 x (x + 2) (x - 2) + {(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 48 = 0$

Paso 2.1.6

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- 7 x (x + 2) (x - 2) + u^{2} + 8 u - 48 = 0$

Paso 2.1.7

Factoriza $u^{2} + 8 u - 48$ con el método AC.

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Paso 2.1.7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 48$ y cuya suma es $8$ .

$- 4, 12$

Paso 2.1.7.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 7 x (x + 2) (x - 2) + (u - 4) (u + 12) = 0$

Paso 2.1.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- 7 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 4) (x^{2} + 12) = 0$

Paso 2.1.9

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- 7 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 12) = 0$

Paso 2.1.10

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$- 7 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12) = 0$

Paso 2.1.11

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $- 7 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)$ .

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Paso 2.1.11.1

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $- 7 x (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 7 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12) = 0$

Paso 2.1.11.2

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $(x + 2) (x - 2) (- 7 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 7 x + x^{2} + 12) = 0$

Paso 2.1.12

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 7 u + u^{2} + 12) = 0$

Paso 2.1.13

Factoriza $- 7 u + u^{2} + 12$ con el método AC.

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Paso 2.1.13.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $12$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 4, - 3$

Paso 2.1.13.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x + 2) (x - 2) ((u - 4) (u - 3)) = 0$

Paso 2.1.14

Factoriza.

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Paso 2.1.14.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x - 4) (x - 3)) = 0$

Paso 2.1.14.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 2) (x - 2) (x - 4) (x - 3) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 2.3

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 2.3.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.4

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.5

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 2.6

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.6.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 2) (x - 2) (x - 4) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = - 2, 2, 4, 3$

Paso 3