Precálculo Ejemplos

$g (x) = 10 x^{3} - 33 x^{2} + 8 x + 3$

Paso 1

Establece $10 x^{3} - 33 x^{2} + 8 x + 3$ igual a $0$ .

$10 x^{3} - 33 x^{2} + 8 x + 3 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Factoriza $10 x^{3} - 33 x^{2} + 8 x + 3$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

Paso 2.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.1, \pm 0.5, \pm 0.2, \pm 3, \pm 0.3, \pm 1.5, \pm 0.6$

Paso 2.1.1.3

Sustituye $- 0.2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 0.2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye $- 0.2$ en el polinomio.

$10 {(- 0.2)}^{3} - 33 {(- 0.2)}^{2} + 8 \cdot - 0.2 + 3$

Paso 2.1.1.3.2

Eleva $- 0.2$ a la potencia de $3$ .

$10 \cdot - 0.008 - 33 {(- 0.2)}^{2} + 8 \cdot - 0.2 + 3$

Paso 2.1.1.3.3

Multiplica $10$ por $- 0.008$ .

$- 0.08 - 33 {(- 0.2)}^{2} + 8 \cdot - 0.2 + 3$

Paso 2.1.1.3.4

Eleva $- 0.2$ a la potencia de $2$ .

$- 0.08 - 33 \cdot 0.04 + 8 \cdot - 0.2 + 3$

Paso 2.1.1.3.5

Multiplica $- 33$ por $0.04$ .

$- 0.08 - 1.32 + 8 \cdot - 0.2 + 3$

Paso 2.1.1.3.6

Resta $1.32$ de $- 0.08$ .

$- 1.4 + 8 \cdot - 0.2 + 3$

Paso 2.1.1.3.7

Multiplica $8$ por $- 0.2$ .

$- 1.4 - 1.6 + 3$

Paso 2.1.1.3.8

Resta $1.6$ de $- 1.4$ .

$- 3 + 3$

Paso 2.1.1.3.9

Suma $- 3$ y $3$ .

$0$

Paso 2.1.1.4

Como $- 0.2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $5 x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{10 x^{3} - 33 x^{2} + 8 x + 3}{5 x + 1}$

Paso 2.1.1.5

Divide $10 x^{3} - 33 x^{2} + 8 x + 3$ por $5 x + 1$ .

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Paso 2.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$5 x$

$1$

$10 x^{3}$

$33 x^{2}$

$8 x$

$3$

Paso 2.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $10 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $5 x$ .

					$2 x^{2}$
	$5 x$	+	$1$		$10 x^{3}$	-	$33 x^{2}$	+	$8 x$	+	$3$

Paso 2.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$
$5 x$	+	$1$		$10 x^{3}$	-	$33 x^{2}$	+	$8 x$	+	$3$
			+	$10 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Paso 2.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $10 x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$5 x$	+	$1$		$10 x^{3}$	-	$33 x^{2}$	+	$8 x$	+	$3$
			-	$10 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Paso 2.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$
$5 x$	+	$1$		$10 x^{3}$	-	$33 x^{2}$	+	$8 x$	+	$3$
			-	$10 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$35 x^{2}$

Paso 2.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x^{2}$
$5 x$	+	$1$		$10 x^{3}$	-	$33 x^{2}$	+	$8 x$	+	$3$
			-	$10 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$35 x^{2}$	+	$8 x$

Paso 2.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 35 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $5 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$7 x$
$5 x$	+	$1$		$10 x^{3}$	-	$33 x^{2}$	+	$8 x$	+	$3$
			-	$10 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$35 x^{2}$	+	$8 x$

Paso 2.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$	-	$7 x$
$5 x$	+	$1$		$10 x^{3}$	-	$33 x^{2}$	+	$8 x$	+	$3$
			-	$10 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$35 x^{2}$	+	$8 x$
					-	$35 x^{2}$	-	$7 x$

Paso 2.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 35 x^{2} - 7 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$7 x$
$5 x$	+	$1$		$10 x^{3}$	-	$33 x^{2}$	+	$8 x$	+	$3$
			-	$10 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$35 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$35 x^{2}$	+	$7 x$

Paso 2.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$7 x$
$5 x$	+	$1$		$10 x^{3}$	-	$33 x^{2}$	+	$8 x$	+	$3$
			-	$10 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$35 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$35 x^{2}$	+	$7 x$
							+	$15 x$

Paso 2.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x^{2}$	-	$7 x$
$5 x$	+	$1$		$10 x^{3}$	-	$33 x^{2}$	+	$8 x$	+	$3$
			-	$10 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$35 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$35 x^{2}$	+	$7 x$
							+	$15 x$	+	$3$

Paso 2.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $15 x$ por el término de mayor orden en el divisor $5 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$7 x$	+	$3$
$5 x$	+	$1$		$10 x^{3}$	-	$33 x^{2}$	+	$8 x$	+	$3$
			-	$10 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$35 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$35 x^{2}$	+	$7 x$
							+	$15 x$	+	$3$

Paso 2.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$	-	$7 x$	+	$3$
$5 x$	+	$1$		$10 x^{3}$	-	$33 x^{2}$	+	$8 x$	+	$3$
			-	$10 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$35 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$35 x^{2}$	+	$7 x$
							+	$15 x$	+	$3$
							+	$15 x$	+	$3$

Paso 2.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $15 x + 3$ .

				$2 x^{2}$	-	$7 x$	+	$3$
$5 x$	+	$1$		$10 x^{3}$	-	$33 x^{2}$	+	$8 x$	+	$3$
			-	$10 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$35 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$35 x^{2}$	+	$7 x$
							+	$15 x$	+	$3$
							-	$15 x$	-	$3$

Paso 2.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$7 x$	+	$3$
$5 x$	+	$1$		$10 x^{3}$	-	$33 x^{2}$	+	$8 x$	+	$3$
			-	$10 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$35 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$35 x^{2}$	+	$7 x$
							+	$15 x$	+	$3$
							-	$15 x$	-	$3$
										$0$

Paso 2.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$2 x^{2} - 7 x + 3$

Paso 2.1.1.6

Escribe $10 x^{3} - 33 x^{2} + 8 x + 3$ como un conjunto de factores.

$(5 x + 1) (2 x^{2} - 7 x + 3) = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ y cuya suma es $b = - 7$ .

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Paso 2.1.2.1.1.1

Factoriza $- 7$ de $- 7 x$ .

$(5 x + 1) (2 x^{2} - 7 x + 3) = 0$

Paso 2.1.2.1.1.2

Reescribe $- 7$ como $- 1$ más $- 6$

$(5 x + 1) (2 x^{2} + (- 1 - 6) x + 3) = 0$

Paso 2.1.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(5 x + 1) (2 x^{2} - 1 x - 6 x + 3) = 0$

Paso 2.1.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(5 x + 1) ((2 x^{2} - 1 x) - 6 x + 3) = 0$

Paso 2.1.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(5 x + 1) (x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)) = 0$

Paso 2.1.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$(5 x + 1) ((2 x - 1) (x - 3)) = 0$

Paso 2.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(5 x + 1) (2 x - 1) (x - 3) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$5 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 2.3

Establece $5 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $5 x + 1$ igual a $0$ .

$5 x + 1 = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $5 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x = - 1$

Paso 2.3.2.2

Divide cada término en $5 x = - 1$ por $5$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.2.1

Divide cada término en $5 x = - 1$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 1}{5}$

Paso 2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 1}{5}$

Paso 2.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{5}$

Paso 2.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{5}$

Paso 2.4

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $2 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 2.4.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 2.5

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(5 x + 1) (2 x - 1) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{5}, \frac{1}{2}, 3$

Paso 3