Precálculo Ejemplos

$f (x) = \csc (x) + \sqrt{2}$

Paso 1

Establece $\csc (x) + \sqrt{2}$ igual a $0$ .

$\csc (x) + \sqrt{2} = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Resta $\sqrt{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

Paso 2.2

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cosecante.

$x = arccsc (- \sqrt{2})$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

El valor exacto de $arccsc (- \sqrt{2})$ es $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Paso 2.4

La cosecante es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Paso 2.5

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 2.5.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Paso 2.5.2

El ángulo resultante de $\frac{5 π}{4}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Paso 2.6

Obtén el período de $\csc (x)$ .

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Paso 2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.7

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 2.7.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{4}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Paso 2.7.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 2.7.3

Combina fracciones.

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Paso 2.7.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 2.7.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 2.7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.4.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Paso 2.7.4.2

Resta $π$ de $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Paso 2.7.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{7 π}{4}$

Paso 2.8

El período de la función $\csc (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3