Precálculo Ejemplos

$\frac{x}{x^{3} - 125}$

Paso 1

Establece el denominador en $\frac{x}{x^{3} - 125}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} - 125 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Suma $125$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{3} = 125$

Paso 2.2

Resta $125$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} - 125 = 0$

Paso 2.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.3.1

Reescribe $125$ como $5^{3}$ .

$x^{3} - 5^{3} = 0$

Paso 2.3.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$(x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2}) = 0$

Paso 2.3.3.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$

Paso 2.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

Paso 2.5

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 2.6

Establece $x^{2} + 5 x + 25$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $x^{2} + 5 x + 25$ igual a $0$ .

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

Paso 2.6.2

Resuelve $x^{2} + 5 x + 25 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 5$ y $c = 25$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3

Simplifica.

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Paso 2.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.2.3.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Paso 2.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.3

Resta $100$ de $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.4

Reescribe $- 75$ como $- 1 (75)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (75)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.7

Reescribe $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.6.2.3.1.7.1

Factoriza $25$ de $75$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.7.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.9

Mueve $5$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.6.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.2.4.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Paso 2.6.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.3

Resta $100$ de $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.4

Reescribe $- 75$ como $- 1 (75)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (75)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.7

Reescribe $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.6.2.4.1.7.1

Factoriza $25$ de $75$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.7.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.9

Mueve $5$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.2.4.4

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.2.4.5

Factoriza $- 1$ de $5 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (- 5 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 2.6.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (5) - (- 5 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (5 - 5 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 2.6.2.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.6.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.2.5.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Paso 2.6.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.3

Resta $100$ de $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.4

Reescribe $- 75$ como $- 1 (75)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (75)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.7

Reescribe $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.6.2.5.1.7.1

Factoriza $25$ de $75$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.7.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.9

Mueve $5$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.2.5.4

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.2.5.5

Factoriza $- 1$ de $- 5 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (5 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 2.6.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (5) - (5 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (5 + 5 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 2.6.2.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$ verdadera.

$x = 5, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 5}$

Paso 4