Precálculo Ejemplos

$x^{3} - 3 x^{2} - 54 x < 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{3} - 3 x^{2} - 54 x = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 3 x^{2} - 54 x$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 3 x^{2} - 54 x = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $x$ de $- 3 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 3 x) - 54 x = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $x$ de $- 54 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot - 54 = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 3 x)$ .

$x (x^{2} - 3 x) + x \cdot - 54 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} - 3 x) + x \cdot - 54$ .

$x (x^{2} - 3 x - 54) = 0$

Paso 2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.1

Factoriza $x^{2} - 3 x - 54$ con el método AC.

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Paso 2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 54$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 9, 6$

Paso 2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$x ((x - 9) (x + 6)) = 0$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x - 9) (x + 6) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 9 = 0$

$x + 6 = 0$

Paso 4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 5

Establece $x - 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x - 9$ igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Paso 5.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 9$

Paso 6

Establece $x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x + 6$ igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Paso 6.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x - 9) (x + 6) = 0$ verdadera.

$x = 0, 9, - 6$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 6$

$- 6 < x < 0$

$0 < x < 9$

$x > 9$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

${(- 8)}^{3} - 3 {(- 8)}^{2} - 54 \cdot - 8 < 0$

Paso 9.1.3

$- 272$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 6 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 6 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

${(- 3)}^{3} - 3 {(- 3)}^{2} - 54 \cdot - 3 < 0$

Paso 9.2.3

$108$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

${(4)}^{3} - 3 {(4)}^{2} - 54 \cdot 4 < 0$

Paso 9.3.3

$- 200$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 9.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 12$

Paso 9.4.2

Reemplaza $x$ con $12$ en la desigualdad original.

${(12)}^{3} - 3 {(12)}^{2} - 54 \cdot 12 < 0$

Paso 9.4.3

$648$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 9.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 6$ Verdadero

$- 6 < x < 0$ Falso

$0 < x < 9$ Verdadero

$x > 9$ Falso

$x < - 6$ Verdadero

$- 6 < x < 0$ Falso

$0 < x < 9$ Verdadero

$x > 9$ Falso

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 6$ o $0 < x < 9$

Paso 11

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 6) \cup (0, 9)$

Paso 12