Precálculo Ejemplos

$6 x < \frac{36}{x + 5}$

Paso 1

Resta $\frac{36}{x + 5}$ de ambos lados de la desigualdad.

$6 x - \frac{36}{x + 5} < 0$

Paso 2

Simplifica $6 x - \frac{36}{x + 5}$ .

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Paso 2.1

Para escribir $6 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{6 x (x + 5)}{x + 5} - \frac{36}{x + 5} < 0$

Paso 2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 x (x + 5) - 36}{x + 5} < 0$

Paso 2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.1

Factoriza $6$ de $6 x (x + 5) - 36$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $6$ de $6 x (x + 5)$ .

$\frac{6 (x (x + 5)) - 36}{x + 5} < 0$

Paso 2.3.1.2

Factoriza $6$ de $- 36$ .

$\frac{6 (x (x + 5)) + 6 \cdot - 6}{x + 5} < 0$

Paso 2.3.1.3

Factoriza $6$ de $6 (x (x + 5)) + 6 \cdot - 6$ .

$\frac{6 (x (x + 5) - 6)}{x + 5} < 0$

Paso 2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 (x \cdot x + x \cdot 5 - 6)}{x + 5} < 0$

Paso 2.3.3

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{6 (x^{2} + x \cdot 5 - 6)}{x + 5} < 0$

Paso 2.3.4

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{6 (x^{2} + 5 \cdot x - 6)}{x + 5} < 0$

Paso 2.3.5

Factoriza $x^{2} + 5 x - 6$ con el método AC.

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Paso 2.3.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $5$ .

$- 1, 6$

Paso 2.3.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{6 ((x - 1) (x + 6))}{x + 5} < 0$

$\frac{6 (x - 1) (x + 6)}{x + 5} < 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x - 1 = 0$

$x + 6 = 0$

$x + 5 = 0$

Paso 4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 5

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 6

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 7

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 1$

$x = - 6$

$x = - 5$

Paso 8

Consolida las soluciones.

$x = 1, - 6, - 5$

Paso 9

Obtén el dominio de $\frac{6 (x - 1) (x + 6)}{x + 5}$ .

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Paso 9.1

Establece el denominador en $\frac{6 (x - 1) (x + 6)}{x + 5}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x + 5 = 0$

Paso 9.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 9.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$x > 1$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$6 (- 8) < \frac{36}{(- 8) + 5}$

Paso 11.1.3

$- 48$ del lado izquierdo es menor que $- 12$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $- 6 < x < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 6 < x < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 5.5$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $- 5.5$ en la desigualdad original.

$6 (- 5.5) < \frac{36}{(- 5.5) + 5}$

Paso 11.2.3

$- 33$ del lado izquierdo no es menor que $- 72$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$6 (0) < \frac{36}{(0) + 5}$

Paso 11.3.3

$0$ del lado izquierdo es menor que $7.2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 11.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$6 (4) < \frac{36}{(4) + 5}$

Paso 11.4.3

$24$ del lado izquierdo no es menor que $4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 6$ Verdadero

$- 6 < x < - 5$ Falso

$- 5 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

$x < - 6$ Verdadero

$- 6 < x < - 5$ Falso

$- 5 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 6$ o $- 5 < x < 1$

Paso 13

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 6) \cup (- 5, 1)$

Paso 14