Precálculo Ejemplos

$x^{2} + 2 x \geq 8$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} + 2 x = 8$

Paso 2

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 2 x - 8 = 0$

Paso 3

Factoriza $x^{2} + 2 x - 8$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $2$ .

$- 2, 4$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 2) (x + 4) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 5

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 6

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 6.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 2) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 4$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 4$

$- 4 < x < 2$

$x > 2$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

${(- 6)}^{2} + 2 (- 6) \geq 8$

Paso 9.1.3

$24$ del lado izquierdo es mayor que $8$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} + 2 (0) \geq 8$

Paso 9.2.3

$0$ del lado izquierdo es menor que $8$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

${(4)}^{2} + 2 (4) \geq 8$

Paso 9.3.3

$24$ del lado izquierdo es mayor que $8$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 4$ Verdadero

$- 4 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

$x < - 4$ Verdadero

$- 4 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 4$ o $x \geq 2$

Paso 11

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 4] \cup [2, \infty)$

Paso 12