Precálculo Ejemplos

$\frac{x - 3}{x + 3} < 2$

Paso 1

Resta $2$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{x - 3}{x + 3} - 2 < 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{x - 3}{x + 3} - 2$ .

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Paso 2.1

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x - 3}{x + 3} - 2 \cdot \frac{x + 3}{x + 3} < 0$

Paso 2.2

Combina $- 2$ y $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x - 3}{x + 3} + \frac{- 2 (x + 3)}{x + 3} < 0$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 3 - 2 (x + 3)}{x + 3} < 0$

Paso 2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 3 - 2 x - 2 \cdot 3}{x + 3} < 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{x - 3 - 2 x - 6}{x + 3} < 0$

Paso 2.4.3

Resta $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x - 3 - 6}{x + 3} < 0$

Paso 2.4.4

Resta $6$ de $- 3$ .

$\frac{- x - 9}{x + 3} < 0$

Paso 2.5

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) - 9}{x + 3} < 0$

Paso 2.6

Reescribe $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$\frac{- (x) - 1 (9)}{x + 3} < 0$

Paso 2.7

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (9)$ .

$\frac{- (x + 9)}{x + 3} < 0$

Paso 2.8

Reescribe $- (x + 9)$ como $- 1 (x + 9)$ .

$\frac{- 1 (x + 9)}{x + 3} < 0$

Paso 2.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x + 9}{x + 3} < 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 4

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 9$

Paso 5

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 6

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - 9$

$x = - 3$

Paso 7

Consolida las soluciones.

$x = - 9, - 3$

Paso 8

Obtén el dominio de $- \frac{x + 9}{x + 3}$ .

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Paso 8.1

Establece el denominador en $\frac{x + 9}{x + 3}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x + 3 = 0$

Paso 8.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 8.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 9$

$- 9 < x < - 3$

$x > - 3$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 12$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 12$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 12) - 3}{(- 12) + 3} < 2$

Paso 10.1.3

$1.\overline{6}$ del lado izquierdo es menor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 9 < x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 9 < x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 6) - 3}{(- 6) + 3} < 2$

Paso 10.2.3

$3$ del lado izquierdo no es menor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{(0) - 3}{(0) + 3} < 2$

Paso 10.3.3

$- 1$ del lado izquierdo es menor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 9$ Verdadero

$- 9 < x < - 3$ Falso

$x > - 3$ Verdadero

$x < - 9$ Verdadero

$- 9 < x < - 3$ Falso

$x > - 3$ Verdadero

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 9$ o $x > - 3$

Paso 12

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 9) \cup (- 3, \infty)$

Paso 13