Precálculo Ejemplos

$x^{2} + 9 y^{2} + 16 x - 54 y + 136 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

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Paso 1.1

Resta $136$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 9 y^{2} + 16 x - 54 y = - 136$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $x^{2} + 16 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 16$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{16}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{8}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$d = 8$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $16$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{256}{4}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $256$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $64$ .

$e = 0 - 64$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $64$ de $0$ .

$e = - 64$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x + 8)}^{2} - 64$ .

${(x + 8)}^{2} - 64$

Paso 1.3

Sustituye ${(x + 8)}^{2} - 64$ por $x^{2} + 16 x$ en la ecuación $x^{2} + 9 y^{2} + 16 x - 54 y = - 136$ .

${(x + 8)}^{2} - 64 + 9 y^{2} - 54 y = - 136$

Paso 1.4

Mueve $- 64$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $64$ a ambos lados.

${(x + 8)}^{2} + 9 y^{2} - 54 y = - 136 + 64$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $9 y^{2} - 54 y$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 9$

$b = - 54$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 54}{2 \cdot 9}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 54$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 54$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (9)}$

Paso 1.5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Paso 1.5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 27}{9}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $- 27$ y $9$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Factoriza $9$ de $- 27$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.2.2.1

Factoriza $9$ de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 (1)}$

Paso 1.5.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 3}{1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.4

Divide $- 3$ por $1$ .

$d = - 3$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 54$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Divide $2916$ por $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $81$ .

$e = 0 - 81$

Paso 1.5.4.2.2

Resta $81$ de $0$ .

$e = - 81$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $9 {(y - 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(y - 3)}^{2} - 81$

Paso 1.6

Sustituye $9 {(y - 3)}^{2} - 81$ por $9 y^{2} - 54 y$ en la ecuación $x^{2} + 9 y^{2} + 16 x - 54 y = - 136$ .

${(x + 8)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} - 81 = - 136 + 64$

Paso 1.7

Mueve $- 81$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $81$ a ambos lados.

${(x + 8)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} = - 136 + 64 + 81$

Paso 1.8

Simplifica $- 136 + 64 + 81$ .

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Paso 1.8.1

Suma $- 136$ y $64$ .

${(x + 8)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} = - 72 + 81$

Paso 1.8.2

Suma $- 72$ y $81$ .

${(x + 8)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} = 9$

Paso 1.9

Divide cada término por $9$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{{(x + 8)}^{2}}{9} + \frac{9 {(y - 3)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Paso 1.10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x + 8)}^{2}}{9} + {(y - 3)}^{2} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 3$

$b = 1$

$k = 3$

$h = - 8$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(- 8, 3)$

Paso 5