Precálculo Ejemplos

$x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 8 y - 4 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 8 y = 4$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $x^{2} - 4 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 2}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Cancela el factor común de ${(- 4)}^{2}$ y $4$ .

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Paso 1.2.4.2.1.1.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2.1.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2.1.1.4

Multiplica $4^{2}$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2.1.1.5

Factoriza $4$ de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2.1.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1.1.6.1

Factoriza $4$ de $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Paso 1.2.4.2.1.1.6.2

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2.1.1.6.3

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Paso 1.2.4.2.1.1.6.4

Divide $4$ por $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - 4$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - 2)}^{2} - 4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4$

Paso 1.3

Sustituye ${(x - 2)}^{2} - 4$ por $x^{2} - 4 x$ en la ecuación $x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 8 y = 4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 - 4 y^{2} + 8 y = 4$

Paso 1.4

Mueve $- 4$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $4$ a ambos lados.

${(x - 2)}^{2} - 4 y^{2} + 8 y = 4 + 4$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $- 4 y^{2} + 8 y$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 4$

$b = 8$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot - 4}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 4}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (- 4)}$

Paso 1.5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 4}$

Paso 1.5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{4}{- 4}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $4$ y $- 4$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$d = \frac{4 (1)}{- 4}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Paso 1.5.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot - 4}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot - 4}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$e = 0 - \frac{64}{- 16}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Divide $64$ por $- 16$ .

$e = 0 - - 4$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Paso 1.5.4.2.2

Suma $0$ y $4$ .

$e = 4$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 4 {(y - 1)}^{2} + 4$ .

$- 4 {(y - 1)}^{2} + 4$

Paso 1.6

Sustituye $- 4 {(y - 1)}^{2} + 4$ por $- 4 y^{2} + 8 y$ en la ecuación $x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 8 y = 4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} + 4 = 4 + 4$

Paso 1.7

Mueve $4$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $4$ a ambos lados.

${(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} = 4 + 4 - 4$

Paso 1.8

Simplifica $4 + 4 - 4$ .

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Paso 1.8.1

Suma $4$ y $4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} = 8 - 4$

Paso 1.8.2

Resta $4$ de $8$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} = 4$

Paso 1.9

Divide cada término por $4$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} - \frac{4 {(y - 1)}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Paso 1.10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{1} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 2$

$b = 1$

$k = 1$

$h = 2$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(2, 1)$

Paso 5