Precálculo Ejemplos

$y = 2 x^{2} - 5$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = 2 y^{2} - 5$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $2 y^{2} - 5 = x$ .

$2 y^{2} - 5 = x$

Paso 2.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y^{2} = x + 5$

Paso 2.3

Divide cada término en $2 y^{2} = x + 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $2 y^{2} = x + 5$ por $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Paso 2.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2} + \frac{5}{2}}$

Paso 2.5

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{x}{2} + \frac{5}{2}}$ .

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Paso 2.5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 5}{2}}$

Paso 2.5.2

Reescribe $\sqrt{\frac{x + 5}{2}}$ como $\frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{2}}$

Paso 2.5.3

Multiplica $\frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 2.5.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.5.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 2.5.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 2.5.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 2.5.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 2.5.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 2.5.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.5.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.5.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.5.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.5.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 2.5.4.6.5

Evalúa el exponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.5.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x + 5) \cdot 2}}{2}$

Paso 2.5.6

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt{(x + 5) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

Paso 2.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

Paso 2.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

Paso 2.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$ es la inversa de $f (x) = 2 x^{2} - 5$ .

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Paso 4.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = 2 x^{2} - 5$ y $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$ y compáralos.

Paso 4.2

Obtén el rango de $f (x) = 2 x^{2} - 5$ .

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Paso 4.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[- 5, \infty)$

Paso 4.3

Obtén el dominio de $\frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$ .

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Paso 4.3.1

Establece el radicando en $\sqrt{2 (x + 5)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$2 (x + 5) \geq 0$

Paso 4.3.2

Resuelve $x$

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Paso 4.3.2.1

Divide cada término en $2 (x + 5) \geq 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.3.2.1.1

Divide cada término en $2 (x + 5) \geq 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x + 5)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Paso 4.3.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x + 5)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Paso 4.3.2.1.2.1.2

Divide $x + 5$ por $1$ .

$x + 5 \geq \frac{0}{2}$

Paso 4.3.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.1.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x + 5 \geq 0$

Paso 4.3.2.2

Resta $5$ de ambos lados de la desigualdad.

$x \geq - 5$

Paso 4.3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[- 5, \infty)$

Paso 4.4

Obtén el dominio de $f (x) = 2 x^{2} - 5$ .

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Paso 4.4.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Paso 4.5

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$ es el rango de $f (x) = 2 x^{2} - 5$ y el rango de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$ es el dominio de $f (x) = 2 x^{2} - 5$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$ es la inversa de $f (x) = 2 x^{2} - 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

Paso 5