Precálculo Ejemplos

$\sin (2 θ) + \sin (θ) = 0$

Paso 1

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$2 \sin (θ) \cos (θ) + \sin (θ) = 0$

Paso 2

Factoriza $\sin (θ)$ de $2 \sin (θ) \cos (θ) + \sin (θ)$ .

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Paso 2.1

Factoriza $\sin (θ)$ de $2 \sin (θ) \cos (θ)$ .

$\sin (θ) (2 \cos (θ)) + \sin (θ) = 0$

Paso 2.2

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) (2 \cos (θ)) + \sin (θ) = 0$

Paso 2.3

Factoriza $\sin (θ)$ de $\sin^{1} (θ)$ .

$\sin (θ) (2 \cos (θ)) + \sin (θ) \cdot 1 = 0$

Paso 2.4

Factoriza $\sin (θ)$ de $\sin (θ) (2 \cos (θ)) + \sin (θ) \cdot 1$ .

$\sin (θ) (2 \cos (θ) + 1) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (θ) = 0$

$2 \cos (θ) + 1 = 0$

Paso 4

Establece $\sin (θ)$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Paso 4.1

Establece $\sin (θ)$ igual a $0$ .

$\sin (θ) = 0$

Paso 4.2

Resuelve $\sin (θ) = 0$ en $θ$ .

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Paso 4.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$θ = \arcsin (0)$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$θ = 0$

Paso 4.2.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$θ = π - 0$

Paso 4.2.4

Resta $0$ de $π$ .

$θ = π$

Paso 4.2.5

Obtén el período de $\sin (θ)$ .

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Paso 4.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 4.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 4.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 4.2.6

El período de la función $\sin (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

Establece $2 \cos (θ) + 1$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Paso 5.1

Establece $2 \cos (θ) + 1$ igual a $0$ .

$2 \cos (θ) + 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $2 \cos (θ) + 1 = 0$ en $θ$ .

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Paso 5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (θ) = - 1$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $2 \cos (θ) = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $2 \cos (θ) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $\cos (θ)$ por $1$ .

$\cos (θ) = \frac{- 1}{2}$

Paso 5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (θ) = - \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$θ = \arccos (- \frac{1}{2})$

Paso 5.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.4.1

El valor exacto de $\arccos (- \frac{1}{2})$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Paso 5.2.5

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$θ = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Paso 5.2.6

Simplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Paso 5.2.6.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 5.2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.6.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 5.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Paso 5.2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.6.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$θ = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Paso 5.2.6.3.2

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Paso 5.2.7

Obtén el período de $\cos (θ)$ .

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Paso 5.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.2.8

El período de la función $\cos (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $\sin (θ) (2 \cos (θ) + 1) = 0$ verdadera.

$θ = 2 π n, π + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Consolida $2 π n$ y $π + 2 π n$ en $π n$ .

$θ = π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$