Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 8 x + 12}{x + 3}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x^{2} - 8 x + 12}{x + 3}$ no está definida.

$x = - 3$

Paso 2

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 3

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Paso 4

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 5

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 5.1

Factoriza $x^{2} - 8 x + 12$ con el método AC.

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Paso 5.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $12$ y cuya suma es $- 8$ .

$- 6, - 2$

Paso 5.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 6) (x - 2)}{x + 3}$

Paso 5.2

Expande $(x - 6) (x - 2)$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x - 2) - 6 (x - 2)}{x + 3}$

Paso 5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - 6 (x - 2)}{x + 3}$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - 6 x - 6 \cdot - 2}{x + 3}$

Paso 5.2.4

Reordena $x$ y $- 2$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x - 6 x - 6 \cdot - 2}{x + 3}$

Paso 5.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x - 6 x - 6 \cdot - 2}{x + 3}$

Paso 5.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x - 6 x - 6 \cdot - 2}{x + 3}$

Paso 5.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{1 + 1} - 2 x - 6 x - 6 \cdot - 2}{x + 3}$

Paso 5.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 6 x - 6 \cdot - 2}{x + 3}$

Paso 5.2.9

Multiplica $- 6$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 6 x + 12}{x + 3}$

Paso 5.2.10

Resta $6 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{x^{2} - 8 x + 12}{x + 3}$

Paso 5.3

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$3$

$x^{2}$

$8 x$

$12$

Paso 5.4

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$3$		$x^{2}$	-	$8 x$	+	$12$

Paso 5.5

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	-	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$

Paso 5.6

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + 3 x$ .

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	-	$8 x$	+	$12$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$

Paso 5.7

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	-	$8 x$	+	$12$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$11 x$

Paso 5.8

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	-	$8 x$	+	$12$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$11 x$	+	$12$

Paso 5.9

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 11 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x$	-	$11$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	-	$8 x$	+	$12$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$11 x$	+	$12$

Paso 5.10

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$	-	$11$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	-	$8 x$	+	$12$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$11 x$	+	$12$
					-	$11 x$	-	$33$

Paso 5.11

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 11 x - 33$ .

				$x$	-	$11$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	-	$8 x$	+	$12$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$11 x$	+	$12$
					+	$11 x$	+	$33$

Paso 5.12

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$	-	$11$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	-	$8 x$	+	$12$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$11 x$	+	$12$
					+	$11 x$	+	$33$
							+	$45$

Paso 5.13

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$x - 11 + \frac{45}{x + 3}$

Paso 5.14

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = x - 11$

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - 3$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = x - 11$

Paso 7