Precálculo Ejemplos

$f (x) = \log_{11} (\frac{x + 8}{x - 5})$

Paso 1

Establece el argumento en $\log_{11} (\frac{x + 8}{x - 5})$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{x + 8}{x - 5} > 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x + 8 = 0$

$x - 5 = 0$

Paso 2.2

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 8$

Paso 2.3

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 2.4

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - 8$

$x = 5$

Paso 2.5

Consolida las soluciones.

$x = - 8, 5$

Paso 2.6

Obtén el dominio de $\frac{x + 8}{x - 5}$ .

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Paso 2.6.1

Establece el denominador en $\frac{x + 8}{x - 5}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 5 = 0$

Paso 2.6.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 2.6.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Paso 2.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 8$

$- 8 < x < 5$

$x > 5$

Paso 2.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 8$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 8$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 10$

Paso 2.8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 10$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 10) + 8}{(- 10) - 5} > 0$

Paso 2.8.1.3

$0.1\overline{3}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 8 < x < 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 8 < x < 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 2.8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{(0) + 8}{(0) - 5} > 0$

Paso 2.8.2.3

$- 1.6$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 2.8.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$\frac{(8) + 8}{(8) - 5} > 0$

Paso 2.8.3.3

$5.\overline{3}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 8$ Verdadero

$- 8 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadero

$x < - 8$ Verdadero

$- 8 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadero

Paso 2.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 8$ o $x > 5$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{x + 8}{x - 5}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 5 = 0$

Paso 4

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 8) \cup (5, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x < - 8, x > 5}$

Paso 6