Precálculo Ejemplos

$\sqrt{10 a - 1} = 1 + \sqrt{5 a - 1}$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{10 a - 1}}^{2} = {(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{10 a - 1}$ como ${(10 a - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(10 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(10 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(10 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(10 a - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(10 a - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(10 a - 1)}^{1} = {(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$10 a - 1 = {(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe ${(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$ como $(1 + \sqrt{5 a - 1}) (1 + \sqrt{5 a - 1})$ .

$10 a - 1 = (1 + \sqrt{5 a - 1}) (1 + \sqrt{5 a - 1})$

Paso 2.3.1.2

Expande $(1 + \sqrt{5 a - 1}) (1 + \sqrt{5 a - 1})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$10 a - 1 = 1 (1 + \sqrt{5 a - 1}) + \sqrt{5 a - 1} (1 + \sqrt{5 a - 1})$

Paso 2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$10 a - 1 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} (1 + \sqrt{5 a - 1})$

Paso 2.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$10 a - 1 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} \cdot 1 + \sqrt{5 a - 1} \sqrt{5 a - 1}$

Paso 2.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$10 a - 1 = 1 + 1 \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} \cdot 1 + \sqrt{5 a - 1} \sqrt{5 a - 1}$

Paso 2.3.1.3.1.2

Multiplica $\sqrt{5 a - 1}$ por $1$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} \cdot 1 + \sqrt{5 a - 1} \sqrt{5 a - 1}$

Paso 2.3.1.3.1.3

Multiplica $\sqrt{5 a - 1}$ por $1$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} \sqrt{5 a - 1}$

Paso 2.3.1.3.1.4

Multiplica $\sqrt{5 a - 1} \sqrt{5 a - 1}$ .

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Paso 2.3.1.3.1.4.1

Eleva $\sqrt{5 a - 1}$ a la potencia de $1$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {\sqrt{5 a - 1}}^{1} \sqrt{5 a - 1}$

Paso 2.3.1.3.1.4.2

Eleva $\sqrt{5 a - 1}$ a la potencia de $1$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {\sqrt{5 a - 1}}^{1} {\sqrt{5 a - 1}}^{1}$

Paso 2.3.1.3.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {\sqrt{5 a - 1}}^{1 + 1}$

Paso 2.3.1.3.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {\sqrt{5 a - 1}}^{2}$

Paso 2.3.1.3.1.5

Reescribe ${\sqrt{5 a - 1}}^{2}$ como $5 a - 1$ .

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Paso 2.3.1.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 a - 1}$ como ${(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {({(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 2.3.1.3.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {(5 a - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 2.3.1.3.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {(5 a - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.3.1.3.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.3.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {(5 a - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.3.1.3.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {(5 a - 1)}^{1}$

Paso 2.3.1.3.1.5.5

Simplifica.

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + 5 a - 1$

Paso 2.3.1.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$10 a - 1 = 0 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + 5 a$

Paso 2.3.1.3.3

Suma $0$ y $\sqrt{5 a - 1}$ .

$10 a - 1 = \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + 5 a$

Paso 2.3.1.3.4

Suma $\sqrt{5 a - 1}$ y $\sqrt{5 a - 1}$ .

$10 a - 1 = 2 \sqrt{5 a - 1} + 5 a$

Paso 3

Resuelve $2 \sqrt{5 a - 1}$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $2 \sqrt{5 a - 1} + 5 a = 10 a - 1$ .

$2 \sqrt{5 a - 1} + 5 a = 10 a - 1$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que no contengan $2 \sqrt{5 a - 1}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $5 a$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sqrt{5 a - 1} = 10 a - 1 - 5 a$

Paso 3.2.2

Resta $5 a$ de $10 a$ .

$2 \sqrt{5 a - 1} = 5 a - 1$

Paso 4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{5 a - 1})}^{2} = {(5 a - 1)}^{2}$

Paso 5

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 a - 1}$ como ${(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 a - 1)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica ${(2 {(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 {(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 a - 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {({(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 a - 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(5 a - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 a - 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 {(5 a - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 a - 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 {(5 a - 1)}^{1} = {(5 a - 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.4

Simplifica.

$4 (5 a - 1) = {(5 a - 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (5 a) + 4 \cdot - 1 = {(5 a - 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.6

Multiplica.

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Paso 5.2.1.6.1

Multiplica $5$ por $4$ .

$20 a + 4 \cdot - 1 = {(5 a - 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.6.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$20 a - 4 = {(5 a - 1)}^{2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Simplifica ${(5 a - 1)}^{2}$ .

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Paso 5.3.1.1

Reescribe ${(5 a - 1)}^{2}$ como $(5 a - 1) (5 a - 1)$ .

$20 a - 4 = (5 a - 1) (5 a - 1)$

Paso 5.3.1.2

Expande $(5 a - 1) (5 a - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$20 a - 4 = 5 a (5 a - 1) - 1 (5 a - 1)$

Paso 5.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$20 a - 4 = 5 a (5 a) + 5 a \cdot - 1 - 1 (5 a - 1)$

Paso 5.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$20 a - 4 = 5 a (5 a) + 5 a \cdot - 1 - 1 (5 a) - 1 \cdot - 1$

Paso 5.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$20 a - 4 = 5 \cdot 5 a \cdot a + 5 a \cdot - 1 - 1 (5 a) - 1 \cdot - 1$

Paso 5.3.1.3.1.2

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.3.1.2.1

Mueve $a$ .

$20 a - 4 = 5 \cdot 5 (a \cdot a) + 5 a \cdot - 1 - 1 (5 a) - 1 \cdot - 1$

Paso 5.3.1.3.1.2.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$20 a - 4 = 5 \cdot 5 a^{2} + 5 a \cdot - 1 - 1 (5 a) - 1 \cdot - 1$

Paso 5.3.1.3.1.3

Multiplica $5$ por $5$ .

$20 a - 4 = 25 a^{2} + 5 a \cdot - 1 - 1 (5 a) - 1 \cdot - 1$

Paso 5.3.1.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$20 a - 4 = 25 a^{2} - 5 a - 1 (5 a) - 1 \cdot - 1$

Paso 5.3.1.3.1.5

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$20 a - 4 = 25 a^{2} - 5 a - 5 a - 1 \cdot - 1$

Paso 5.3.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$20 a - 4 = 25 a^{2} - 5 a - 5 a + 1$

Paso 5.3.1.3.2

Resta $5 a$ de $- 5 a$ .

$20 a - 4 = 25 a^{2} - 10 a + 1$

Paso 6

Resuelve $a$

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Paso 6.1

Como $a$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$25 a^{2} - 10 a + 1 = 20 a - 4$

Paso 6.2

Mueve todos los términos que contengan $a$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Resta $20 a$ de ambos lados de la ecuación.

$25 a^{2} - 10 a + 1 - 20 a = - 4$

Paso 6.2.2

Resta $20 a$ de $- 10 a$ .

$25 a^{2} - 30 a + 1 = - 4$

Paso 6.3

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$25 a^{2} - 30 a + 1 + 4 = 0$

Paso 6.4

Suma $1$ y $4$ .

$25 a^{2} - 30 a + 5 = 0$

Paso 6.5

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.5.1

Factoriza $5$ de $25 a^{2} - 30 a + 5$ .

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Paso 6.5.1.1

Factoriza $5$ de $25 a^{2}$ .

$5 (5 a^{2}) - 30 a + 5 = 0$

Paso 6.5.1.2

Factoriza $5$ de $- 30 a$ .

$5 (5 a^{2}) + 5 (- 6 a) + 5 = 0$

Paso 6.5.1.3

Factoriza $5$ de $5$ .

$5 (5 a^{2}) + 5 (- 6 a) + 5 (1) = 0$

Paso 6.5.1.4

Factoriza $5$ de $5 (5 a^{2}) + 5 (- 6 a)$ .

$5 (5 a^{2} - 6 a) + 5 (1) = 0$

Paso 6.5.1.5

Factoriza $5$ de $5 (5 a^{2} - 6 a) + 5 (1)$ .

$5 (5 a^{2} - 6 a + 1) = 0$

Paso 6.5.2

Factoriza.

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Paso 6.5.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.5.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 5 \cdot 1 = 5$ y cuya suma es $b = - 6$ .

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Paso 6.5.2.1.1.1

Factoriza $- 6$ de $- 6 a$ .

$5 (5 a^{2} - 6 a + 1) = 0$

Paso 6.5.2.1.1.2

Reescribe $- 6$ como $- 1$ más $- 5$

$5 (5 a^{2} + (- 1 - 5) a + 1) = 0$

Paso 6.5.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (5 a^{2} - 1 a - 5 a + 1) = 0$

Paso 6.5.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.5.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$5 ((5 a^{2} - 1 a) - 5 a + 1) = 0$

Paso 6.5.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$5 (a (5 a - 1) - (5 a - 1)) = 0$

Paso 6.5.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 a - 1$ .

$5 ((5 a - 1) (a - 1)) = 0$

Paso 6.5.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$5 (5 a - 1) (a - 1) = 0$

Paso 6.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$5 a - 1 = 0$

$a - 1 = 0$

Paso 6.7

Establece $5 a - 1$ igual a $0$ y resuelve $a$ .

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Paso 6.7.1

Establece $5 a - 1$ igual a $0$ .

$5 a - 1 = 0$

Paso 6.7.2

Resuelve $5 a - 1 = 0$ en $a$ .

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Paso 6.7.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$5 a = 1$

Paso 6.7.2.2

Divide cada término en $5 a = 1$ por $5$ y simplifica.

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Paso 6.7.2.2.1

Divide cada término en $5 a = 1$ por $5$ .

$\frac{5 a}{5} = \frac{1}{5}$

Paso 6.7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 6.7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 a}{5} = \frac{1}{5}$

Paso 6.7.2.2.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{1}{5}$

Paso 6.8

Establece $a - 1$ igual a $0$ y resuelve $a$ .

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Paso 6.8.1

Establece $a - 1$ igual a $0$ .

$a - 1 = 0$

Paso 6.8.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$a = 1$

Paso 6.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $5 (5 a - 1) (a - 1) = 0$ verdadera.

$a = \frac{1}{5}, 1$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$a = \frac{1}{5}, 1$

Forma decimal:

$a = 0.2, 1$