Precálculo Ejemplos

$\frac{1}{27} = b^{- 3}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $b^{- 3} = \frac{1}{27}$ .

$b^{- 3} = \frac{1}{27}$

Paso 2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{b^{3}} = \frac{1}{27}$

Paso 3

Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción. Establece esto igual al producto del denominador de la primera fracción y al numerador de la segunda fracción.

$1 \cdot 27 = b^{3} \cdot 1$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $b$ .

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $b^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 27$ .

$b^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 27$

Paso 4.2

Multiplica $b^{3}$ por $1$ .

$b^{3} = 1 \cdot 27$

Paso 4.3

Multiplica $27$ por $1$ .

$b^{3} = 27$

Paso 4.4

Resta $27$ de ambos lados de la ecuación.

$b^{3} - 27 = 0$

Paso 4.5

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.5.1

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$b^{3} - 3^{3} = 0$

Paso 4.5.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = b$ y $b = 3$ .

$(b - 3) (b^{2} + b \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Paso 4.5.3

Simplifica.

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Paso 4.5.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de $b$ .

$(b - 3) (b^{2} + 3 b + 3^{2}) = 0$

Paso 4.5.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$(b - 3) (b^{2} + 3 b + 9) = 0$

Paso 4.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$b - 3 = 0$

$b^{2} + 3 b + 9 = 0$

Paso 4.7

Establece $b - 3$ igual a $0$ y resuelve $b$ .

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Paso 4.7.1

Establece $b - 3$ igual a $0$ .

$b - 3 = 0$

Paso 4.7.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$b = 3$

Paso 4.8

Establece $b^{2} + 3 b + 9$ igual a $0$ y resuelve $b$ .

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Paso 4.8.1

Establece $b^{2} + 3 b + 9$ igual a $0$ .

$b^{2} + 3 b + 9 = 0$

Paso 4.8.2

Resuelve $b^{2} + 3 b + 9 = 0$ en $b$ .

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Paso 4.8.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.8.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 3$ y $c = 9$ en la fórmula cuadrática y resuelve $b$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.8.2.3

Simplifica.

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Paso 4.8.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.8.2.3.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.8.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Paso 4.8.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.8.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.8.2.3.1.3

Resta $36$ de $9$ .

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.8.2.3.1.4

Reescribe $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.8.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (27)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.8.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$b = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.8.2.3.1.7

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.8.2.3.1.7.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$b = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.8.2.3.1.7.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$b = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.8.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$b = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 4.8.2.3.1.9

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$b = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.8.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$b = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.8.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$b = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(b - 3) (b^{2} + 3 b + 9) = 0$ verdadera.

$b = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$