Precálculo Ejemplos

$10 \sqrt{3} = 20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$ .

$20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$

Paso 2

Divide cada término en $20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$ por $20$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$ por $20$ .

$\frac{20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})}{20} = \frac{10 \sqrt{3}}{20}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $20$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})}{20} = \frac{10 \sqrt{3}}{20}$

Paso 2.2.1.2

Divide $\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$ por $1$ .

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 \sqrt{3}}{20}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $10$ y $20$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $10$ de $10 \sqrt{3}$ .

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 (\sqrt{3})}{20}$

Paso 2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1.2.1

Factoriza $10$ de $20$ .

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 \sqrt{3}}{10 \cdot 2}$

Paso 2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 \sqrt{3}}{10 \cdot 2}$

Paso 2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $t$ del interior de seno.

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{π}{3}$

Paso 5

Mueve todos los términos que no contengan $t$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1

Suma $\frac{π}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{π t}{4} = \frac{π}{3} + \frac{π}{2}$

Paso 5.2

Para escribir $\frac{π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 5.3

Para escribir $\frac{π}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 5.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.4.1

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 5.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 5.4.3

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Paso 5.4.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{6}$

Paso 5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2 + π \cdot 3}{6}$

Paso 5.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.6.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 \cdot π + π \cdot 3}{6}$

Paso 5.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π + 3 \cdot π}{6}$

Paso 5.6.3

Suma $2 π$ y $3 π$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{5 π}{6}$

Paso 6

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Paso 7

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 7.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.1.1

Simplifica $\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4}$ .

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Paso 7.1.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Paso 7.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Paso 7.1.1.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 7.1.1.2.1

Factoriza $π$ de $π t$ .

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Paso 7.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Paso 7.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$t = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Paso 7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.1

Simplifica $\frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$t = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Paso 7.2.1.1.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

Paso 7.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

Paso 7.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Paso 7.2.1.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 7.2.1.2.1

Factoriza $π$ de $5 π$ .

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Paso 7.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Paso 7.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$t = 2 (\frac{5}{3})$

Paso 7.2.1.3

Combina $2$ y $\frac{5}{3}$ .

$t = \frac{2 \cdot 5}{3}$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $2$ por $5$ .

$t = \frac{10}{3}$

Paso 8

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = π - \frac{π}{3}$

Paso 9

Resuelve $t$

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Paso 9.1

Simplifica $π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 9.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 9.1.2

Combina fracciones.

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Paso 9.1.2.1

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 9.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 9.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Paso 9.1.3.2

Resta $π$ de $3 π$ .

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{2 π}{3}$

Paso 9.2

Mueve todos los términos que no contengan $t$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.2.1

Suma $\frac{π}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π}{3} + \frac{π}{2}$

Paso 9.2.2

Para escribir $\frac{2 π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 9.2.3

Para escribir $\frac{π}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 9.2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 9.2.4.1

Multiplica $\frac{2 π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 9.2.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{6} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 9.2.4.3

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Paso 9.2.4.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{6}$

Paso 9.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2 + π \cdot 3}{6}$

Paso 9.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{4 π + π \cdot 3}{6}$

Paso 9.2.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{4 π + 3 \cdot π}{6}$

Paso 9.2.6.3

Suma $4 π$ y $3 π$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{7 π}{6}$

Paso 9.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Paso 9.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 9.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.4.1.1

Simplifica $\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4}$ .

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Paso 9.4.1.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 9.4.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Paso 9.4.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Paso 9.4.1.1.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 9.4.1.1.2.1

Factoriza $π$ de $π t$ .

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Paso 9.4.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Paso 9.4.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$t = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Paso 9.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.4.2.1

Simplifica $\frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$ .

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Paso 9.4.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.4.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$t = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Paso 9.4.2.1.1.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{7 π}{2 \cdot 3}$

Paso 9.4.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{7 π}{2 \cdot 3}$

Paso 9.4.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{7 π}{3}$

Paso 9.4.2.1.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 9.4.2.1.2.1

Factoriza $π$ de $7 π$ .

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 7}{3}$

Paso 9.4.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 7}{3}$

Paso 9.4.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$t = 2 (\frac{7}{3})$

Paso 9.4.2.1.3

Combina $2$ y $\frac{7}{3}$ .

$t = \frac{2 \cdot 7}{3}$

Paso 9.4.2.1.4

Multiplica $2$ por $7$ .

$t = \frac{14}{3}$

Paso 10

Obtén el período de $\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$ .

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Paso 10.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 10.2

Reemplaza $b$ con $\frac{π}{4}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{4} |}$

Paso 10.3

$\frac{π}{4}$ es aproximadamente $0.78539816$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{π}{4}}$

Paso 10.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \frac{4}{π}$

Paso 10.5

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 10.5.1

Factoriza $π$ de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Paso 10.5.2

Cancela el factor común.

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Paso 10.5.3

Reescribe la expresión.

$2 \cdot 4$

Paso 10.6

Multiplica $2$ por $4$ .

$8$

Paso 11

El período de la función $\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$ es $8$ , por lo que los valores se repetirán cada $8$ radianes en ambas direcciones.

$t = \frac{10}{3} + 8 n, \frac{14}{3} + 8 n$ , para cualquier número entero $n$