Precálculo Ejemplos

${(1 + y)}^{2} - (1 + y) y - y^{2} + 1 = 0$

Paso 1

Simplifica ${(1 + y)}^{2} - (1 + y) y - y^{2} + 1$ .

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(1 + y)}^{2} + (- 1 \cdot 1 - y) y - y^{2} + 1 = 0$

Paso 1.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

${(1 + y)}^{2} + (- 1 - y) y - y^{2} + 1 = 0$

Paso 1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

${(1 + y)}^{2} - 1 y - y \cdot y - y^{2} + 1 = 0$

Paso 1.1.4

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

${(1 + y)}^{2} - y - y \cdot y - y^{2} + 1 = 0$

Paso 1.1.5

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.5.1

Mueve $y$ .

${(1 + y)}^{2} - y - (y \cdot y) - y^{2} + 1 = 0$

Paso 1.1.5.2

Multiplica $y$ por $y$ .

${(1 + y)}^{2} - y - y^{2} - y^{2} + 1 = 0$

Paso 1.2

Resta $y^{2}$ de $- y^{2}$ .

${(1 + y)}^{2} - y - 2 y^{2} + 1 = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Reagrupa los términos.

${(1 + y)}^{2} - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Paso 2.2

Reescribe ${(1 + y)}^{2}$ como $(1 + y) (1 + y)$ .

$(1 + y) (1 + y) - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Paso 2.3

Expande $(1 + y) (1 + y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 (1 + y) + y (1 + y) - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Paso 2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 y + y (1 + y) - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Paso 2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Paso 2.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Paso 2.4.1.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$1 + y + y \cdot 1 + y \cdot y - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Paso 2.4.1.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$1 + y + y + y \cdot y - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Paso 2.4.1.4

Multiplica $y$ por $y$ .

$1 + y + y + y^{2} - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $y$ y $y$ .

$1 + 2 y + y^{2} - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Paso 2.5

Resta $2 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$1 + 2 y - y^{2} - y + 1 = 0$

Paso 2.6

Factoriza $- 1$ de $1 + 2 y - y^{2}$ .

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Paso 2.6.1

Reordena la expresión.

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Paso 2.6.1.1

Mueve $1$ .

$2 y - y^{2} + 1 - y + 1 = 0$

Paso 2.6.1.2

Reordena $2 y$ y $- y^{2}$ .

$- y^{2} + 2 y + 1 - y + 1 = 0$

Paso 2.6.2

Factoriza $- 1$ de $- y^{2}$ .

$- (y^{2}) + 2 y + 1 - y + 1 = 0$

Paso 2.6.3

Factoriza $- 1$ de $2 y$ .

$- (y^{2}) - (- 2 y) + 1 - y + 1 = 0$

Paso 2.6.4

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- (y^{2}) - (- 2 y) - 1 \cdot - 1 - y + 1 = 0$

Paso 2.6.5

Factoriza $- 1$ de $- (y^{2}) - (- 2 y)$ .

$- (y^{2} - 2 y) - 1 \cdot - 1 - y + 1 = 0$

Paso 2.6.6

Factoriza $- 1$ de $- (y^{2} - 2 y) - 1 (- 1)$ .

$- (y^{2} - 2 y - 1) - y + 1 = 0$

Paso 2.7

Factoriza $- 1$ de $- y + 1$ .

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Paso 2.7.1

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$- (y^{2} - 2 y - 1) - (y) + 1 = 0$

Paso 2.7.2

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- (y^{2} - 2 y - 1) - (y) - 1 \cdot - 1 = 0$

Paso 2.7.3

Factoriza $- 1$ de $- (y) - 1 (- 1)$ .

$- (y^{2} - 2 y - 1) - (y - 1) = 0$

Paso 2.8

Factoriza $- 1$ de $- (y^{2} - 2 y - 1) - (y - 1)$ .

$- (y^{2} - 2 y - 1 + y - 1) = 0$

Paso 2.9

Suma $- 2 y$ y $y$ .

$- (y^{2} - y - 1 - 1) = 0$

Paso 2.10

Resta $1$ de $- 1$ .

$- (y^{2} - y - 2) = 0$

Paso 2.11

Factoriza.

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Paso 2.11.1

Factoriza $y^{2} - y - 2$ con el método AC.

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Paso 2.11.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 2, 1$

Paso 2.11.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((y - 2) (y + 1)) = 0$

Paso 2.11.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (y - 2) (y + 1) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

$y + 1 = 0$

Paso 4

Establece $y - 2$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 4.1

Establece $y - 2$ igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

Paso 4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 2$

Paso 5

Establece $y + 1$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 5.1

Establece $y + 1$ igual a $0$ .

$y + 1 = 0$

Paso 5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 1$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (y - 2) (y + 1) = 0$ verdadera.

$y = 2, - 1$