Precálculo Ejemplos

$x^{2} + y^{2} = 4 x$ , $x = y^{2}$

Paso 1

Reemplaza todos los casos de $x$ por $y^{2}$ en cada ecuación.

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Paso 1.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $x^{2} + y^{2} = 4 x$ por $y^{2}$ .

${(y^{2})}^{2} + y^{2} = 4 (y^{2})$

$x = y^{2}$

Paso 1.2

Simplifica ${(y^{2})}^{2} + y^{2} = 4 (y^{2})$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2 \cdot 2} + y^{2} = 4 (y^{2})$

$x = y^{2}$

Paso 1.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y^{4} + y^{2} = 4 (y^{2})$

$x = y^{2}$

$y^{4} + y^{2} = 4 (y^{2})$

$x = y^{2}$

$y^{4} + y^{2} = 4 (y^{2})$

$x = y^{2}$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.1

Multiplica $4$ por $y^{2}$ .

$y^{4} + y^{2} = 4 y^{2}$

$x = y^{2}$

$y^{4} + y^{2} = 4 y^{2}$

$x = y^{2}$

$y^{4} + y^{2} = 4 y^{2}$

$x = y^{2}$

$y^{4} + y^{2} = 4 y^{2}$

$x = y^{2}$

Paso 2

Resuelve $y$ en $y^{4} + y^{2} = 4 y^{2}$ .

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Paso 2.1

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Resta $4 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{4} + y^{2} - 4 y^{2} = 0$

$x = y^{2}$

Paso 2.1.2

Resta $4 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$y^{4} - 3 y^{2} = 0$

$x = y^{2}$

$y^{4} - 3 y^{2} = 0$

$x = y^{2}$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Reescribe $y^{4}$ como ${(y^{2})}^{2}$ .

${(y^{2})}^{2} - 3 y^{2} = 0$

$x = y^{2}$

Paso 2.2.2

Sea $u = y^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $y^{2}$ .

$u^{2} - 3 u = 0$

$x = y^{2}$

Paso 2.2.3

Factoriza $u$ de $u^{2} - 3 u$ .

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Paso 2.2.3.1

Factoriza $u$ de $u^{2}$ .

$u \cdot u - 3 u = 0$

$x = y^{2}$

Paso 2.2.3.2

Factoriza $u$ de $- 3 u$ .

$u \cdot u + u \cdot - 3 = 0$

$x = y^{2}$

Paso 2.2.3.3

Factoriza $u$ de $u \cdot u + u \cdot - 3$ .

$u (u - 3) = 0$

$x = y^{2}$

$u (u - 3) = 0$

$x = y^{2}$

Paso 2.2.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{2}$ .

$y^{2} (y^{2} - 3) = 0$

$x = y^{2}$

$y^{2} (y^{2} - 3) = 0$

$x = y^{2}$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y^{2} = 0$

$y^{2} - 3 = 0$

$x = y^{2}$

Paso 2.4

Establece $y^{2}$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 2.4.1

Establece $y^{2}$ igual a $0$ .

$y^{2} = 0$

$x = y^{2}$

Paso 2.4.2

Resuelve $y^{2} = 0$ en $y$ .

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Paso 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{0}$

$x = y^{2}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

$x = y^{2}$

Paso 2.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = \pm 0$

$x = y^{2}$

Paso 2.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$y = 0$

$x = y^{2}$

$y = 0$

$x = y^{2}$

$y = 0$

$x = y^{2}$

$y = 0$

$x = y^{2}$

Paso 2.5

Establece $y^{2} - 3$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 2.5.1

Establece $y^{2} - 3$ igual a $0$ .

$y^{2} - 3 = 0$

$x = y^{2}$

Paso 2.5.2

Resuelve $y^{2} - 3 = 0$ en $y$ .

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Paso 2.5.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{2} = 3$

$x = y^{2}$

Paso 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

Paso 2.5.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.5.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

Paso 2.5.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

Paso 2.5.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $y^{2} (y^{2} - 3) = 0$ verdadera.

$y = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

$y = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

Paso 3

Reemplaza todos los casos de $y$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 3.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = y^{2}$ por $0$ .

$x = {(0)}^{2}$

$y = 0$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\sqrt{3}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = y^{2}$ por $\sqrt{3}$ .

$x = {(\sqrt{3})}^{2}$

$y = \sqrt{3}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

$y = \sqrt{3}$

Paso 4.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$y = \sqrt{3}$

Paso 4.2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = 3^{\frac{2}{2}}$

$y = \sqrt{3}$

Paso 4.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$x = 3^{\frac{2}{2}}$

$y = \sqrt{3}$

Paso 4.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

Paso 4.2.1.5

Evalúa el exponente.

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $y$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 5.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = y^{2}$ por $0$ .

$x = {(0)}^{2}$

$y = 0$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\sqrt{3}$ en cada ecuación.

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Paso 6.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = y^{2}$ por $\sqrt{3}$ .

$x = {(\sqrt{3})}^{2}$

$y = \sqrt{3}$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 6.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

$y = \sqrt{3}$

Paso 6.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$y = \sqrt{3}$

Paso 6.2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = 3^{\frac{2}{2}}$

$y = \sqrt{3}$

Paso 6.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$x = 3^{\frac{2}{2}}$

$y = \sqrt{3}$

Paso 6.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

Paso 6.2.1.5

Evalúa el exponente.

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- \sqrt{3}$ en cada ecuación.

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Paso 7.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = y^{2}$ por $- \sqrt{3}$ .

$x = {(- \sqrt{3})}^{2}$

$y = - \sqrt{3}$

Paso 7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.1

Simplifica ${(- \sqrt{3})}^{2}$ .

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Paso 7.2.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{3}$ .

$x = {(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}$

$y = - \sqrt{3}$

Paso 7.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = 1 {\sqrt{3}}^{2}$

$y = - \sqrt{3}$

Paso 7.2.1.1.3

Multiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ por $1$ .

$x = {\sqrt{3}}^{2}$

$y = - \sqrt{3}$

$x = {\sqrt{3}}^{2}$

$y = - \sqrt{3}$

Paso 7.2.1.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 7.2.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

$y = - \sqrt{3}$

Paso 7.2.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$y = - \sqrt{3}$

Paso 7.2.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = 3^{\frac{2}{2}}$

$y = - \sqrt{3}$

Paso 7.2.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$x = 3^{\frac{2}{2}}$

$y = - \sqrt{3}$

Paso 7.2.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

Paso 7.2.1.2.5

Evalúa el exponente.

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

Paso 8

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(0, 0)$

$(3, \sqrt{3})$

$(3, - \sqrt{3})$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(0, 0), (3, \sqrt{3}), (3, - \sqrt{3})$

Forma de la ecuación:

$x = 0, y = 0$

$x = 3, y = \sqrt{3}$

$x = 3, y = - \sqrt{3}$

Paso 10