Precálculo Ejemplos

$\frac{15}{4 x (3 x + 5)}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{3 x + 5}$

Paso 1.2

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $4 x (3 x + 5)$ .

$\frac{15 (4 x (3 x + 5))}{4 x (3 x + 5)} = \frac{A (4 x (3 x + 5))}{x} + \frac{(B) (4 x (3 x + 5))}{3 x + 5}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{15 (4 x (3 x + 5))}{4 x (3 x + 5)} = \frac{A (4 x (3 x + 5))}{x} + \frac{(B) (4 x (3 x + 5))}{3 x + 5}$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{15 (x (3 x + 5))}{x (3 x + 5)} = \frac{A (4 x (3 x + 5))}{x} + \frac{(B) (4 x (3 x + 5))}{3 x + 5}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{15 (x (3 x + 5))}{x (3 x + 5)} = \frac{A (4 x (3 x + 5))}{x} + \frac{(B) (4 x (3 x + 5))}{3 x + 5}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{15 (3 x + 5)}{3 x + 5} = \frac{A (4 x (3 x + 5))}{x} + \frac{(B) (4 x (3 x + 5))}{3 x + 5}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $3 x + 5$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{15 (3 x + 5)}{3 x + 5} = \frac{A (4 x (3 x + 5))}{x} + \frac{(B) (4 x (3 x + 5))}{3 x + 5}$

Paso 1.5.2

Divide $15$ por $1$ .

$15 = \frac{A (4 x (3 x + 5))}{x} + \frac{(B) (4 x (3 x + 5))}{3 x + 5}$

Paso 1.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.6.1.1

Cancela el factor común.

$15 = \frac{A (4 x (3 x + 5))}{x} + \frac{(B) (4 x (3 x + 5))}{3 x + 5}$

Paso 1.6.1.2

Divide $A (4 (3 x + 5))$ por $1$ .

$15 = A (4 (3 x + 5)) + \frac{(B) (4 x (3 x + 5))}{3 x + 5}$

Paso 1.6.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$15 = 4 A (3 x + 5) + \frac{(B) (4 x (3 x + 5))}{3 x + 5}$

Paso 1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$15 = 4 A (3 x) + 4 A \cdot 5 + \frac{(B) (4 x (3 x + 5))}{3 x + 5}$

Paso 1.6.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$15 = 4 \cdot (3 A x) + 4 A \cdot 5 + \frac{(B) (4 x (3 x + 5))}{3 x + 5}$

Paso 1.6.5

Multiplica $5$ por $4$ .

$15 = 4 \cdot (3 A x) + 20 A + \frac{(B) (4 x (3 x + 5))}{3 x + 5}$

Paso 1.6.6

Multiplica $4$ por $3$ .

$15 = 12 A x + 20 A + \frac{(B) (4 x (3 x + 5))}{3 x + 5}$

Paso 1.6.7

Cancela el factor común de $3 x + 5$ .

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Paso 1.6.7.1

Cancela el factor común.

$15 = 12 A x + 20 A + \frac{B (4 x (3 x + 5))}{3 x + 5}$

Paso 1.6.7.2

Divide $(B) (4 x)$ por $1$ .

$15 = 12 A x + 20 A + (B) (4 x)$

Paso 1.6.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$15 = 12 A x + 20 A + 4 B x$

Paso 1.7

Reordena.

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Paso 1.7.1

Mueve $A$ .

$15 = 12 x A + 20 A + 4 B x$

Paso 1.7.2

Mueve $B$ .

$15 = 12 x A + 20 A + 4 x B$

Paso 1.7.3

Mueve $20 A$ .

$15 = 12 x A + 4 x B + 20 A$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = 12 A + 4 B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$15 = 20 A$

Paso 2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = 12 A + 4 B$

$15 = 20 A$

$0 = 12 A + 4 B$

$15 = 20 A$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $15 = 20 A$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $20 A = 15$ .

$20 A = 15$

$0 = 12 A + 4 B$

Paso 3.1.2

Divide cada término en $20 A = 15$ por $20$ y simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Divide cada término en $20 A = 15$ por $20$ .

$\frac{20 A}{20} = \frac{15}{20}$

$0 = 12 A + 4 B$

Paso 3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $20$ .

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Paso 3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{20 A}{20} = \frac{15}{20}$

$0 = 12 A + 4 B$

Paso 3.1.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{15}{20}$

$0 = 12 A + 4 B$

$A = \frac{15}{20}$

$0 = 12 A + 4 B$

$A = \frac{15}{20}$

$0 = 12 A + 4 B$

Paso 3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.2.3.1

Cancela el factor común de $15$ y $20$ .

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Paso 3.1.2.3.1.1

Factoriza $5$ de $15$ .

$A = \frac{5 (3)}{20}$

$0 = 12 A + 4 B$

Paso 3.1.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.3.1.2.1

Factoriza $5$ de $20$ .

$A = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 4}$

$0 = 12 A + 4 B$

Paso 3.1.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$A = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 4}$

$0 = 12 A + 4 B$

Paso 3.1.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$A = \frac{3}{4}$

$0 = 12 A + 4 B$

$A = \frac{3}{4}$

$0 = 12 A + 4 B$

$A = \frac{3}{4}$

$0 = 12 A + 4 B$

$A = \frac{3}{4}$

$0 = 12 A + 4 B$

$A = \frac{3}{4}$

$0 = 12 A + 4 B$

$A = \frac{3}{4}$

$0 = 12 A + 4 B$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $\frac{3}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = 12 A + 4 B$ por $\frac{3}{4}$ .

$0 = 12 (\frac{3}{4}) + 4 B$

$A = \frac{3}{4}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.2.1.1.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$0 = 4 (3) (\frac{3}{4}) + 4 B$

$A = \frac{3}{4}$

Paso 3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$0 = 4 \cdot (3 (\frac{3}{4})) + 4 B$

$A = \frac{3}{4}$

Paso 3.2.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$0 = 3 \cdot 3 + 4 B$

$A = \frac{3}{4}$

$0 = 3 \cdot 3 + 4 B$

$A = \frac{3}{4}$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$0 = 9 + 4 B$

$A = \frac{3}{4}$

$0 = 9 + 4 B$

$A = \frac{3}{4}$

$0 = 9 + 4 B$

$A = \frac{3}{4}$

$0 = 9 + 4 B$

$A = \frac{3}{4}$

Paso 3.3

Resuelve $B$ en $0 = 9 + 4 B$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $9 + 4 B = 0$ .

$9 + 4 B = 0$

$A = \frac{3}{4}$

Paso 3.3.2

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$4 B = - 9$

$A = \frac{3}{4}$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $4 B = - 9$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $4 B = - 9$ por $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{- 9}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 B}{4} = \frac{- 9}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 9}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{- 9}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{- 9}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$B = - \frac{9}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = - \frac{9}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = - \frac{9}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = - \frac{9}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

Paso 3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = - \frac{9}{4} A = \frac{3}{4}$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = - \frac{9}{4}, A = \frac{3}{4}$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B}{3 x + 5}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{3}{4}}{x} + \frac{- \frac{9}{4}}{3 x + 5}$