Precálculo Ejemplos

$\frac{2 x + 57}{{(x - 3)}^{2} (x + 4)}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2

$\frac{A}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{B}{x - 3}$

Paso 1.3

$\frac{A}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C}{x + 4}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es ${(x - 3)}^{2} (x + 4)$ .

$\frac{(2 x + 57) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{{(x - 3)}^{2} (x + 4)} = \frac{(A) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x - 3} + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de ${(x - 3)}^{2}$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 x + 57) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{{(x - 3)}^{2} (x + 4)} = \frac{(A) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x - 3} + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(2 x + 57) (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x - 3} + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 x + 57) (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x - 3} + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.6.2

Divide $2 x + 57$ por $1$ .

$2 x + 57 = \frac{(A) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x - 3} + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1

Cancela el factor común de ${(x - 3)}^{2}$ .

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Paso 1.7.1.1

Cancela el factor común.

$2 x + 57 = \frac{A {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x - 3} + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.7.1.2

Divide $(A) (x + 4)$ por $1$ .

$2 x + 57 = (A) (x + 4) + \frac{(B) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x - 3} + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 57 = A x + A \cdot 4 + \frac{(B) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x - 3} + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.7.3

Mueve $4$ a la izquierda de $A$ .

$2 x + 57 = A x + 4 \cdot A + \frac{(B) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x - 3} + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.7.4

Cancela el factor común de ${(x - 3)}^{2}$ y $x - 3$ .

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Paso 1.7.4.1

Factoriza $x - 3$ de $(B) {(x - 3)}^{2} (x + 4)$ .

$2 x + 57 = A x + 4 A + \frac{(x - 3) (B (x - 3) (x + 4))}{x - 3} + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.7.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.7.4.2.1

Multiplica por $1$ .

$2 x + 57 = A x + 4 A + \frac{(x - 3) (B (x - 3) (x + 4))}{(x - 3) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.7.4.2.2

Cancela el factor común.

$2 x + 57 = A x + 4 A + \frac{(x - 3) (B (x - 3) (x + 4))}{(x - 3) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.7.4.2.3

Reescribe la expresión.

$2 x + 57 = A x + 4 A + \frac{B (x - 3) (x + 4)}{1} + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.7.4.2.4

Divide $B (x - 3) (x + 4)$ por $1$ .

$2 x + 57 = A x + 4 A + B (x - 3) (x + 4) + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 57 = A x + 4 A + (B x + B \cdot - 3) (x + 4) + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.7.6

Mueve $- 3$ a la izquierda de $B$ .

$2 x + 57 = A x + 4 A + (B x - 3 \cdot B) (x + 4) + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.7.7

Expande $(B x - 3 B) (x + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.7.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 57 = A x + 4 A + B x (x + 4) - 3 B (x + 4) + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.7.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 57 = A x + 4 A + B x \cdot x + B x \cdot 4 - 3 B (x + 4) + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.7.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 57 = A x + 4 A + B x \cdot x + B x \cdot 4 - 3 B x - 3 B \cdot 4 + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.7.8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.7.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.8.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.7.8.1.1.1

Mueve $x$ .

$2 x + 57 = A x + 4 A + B (x \cdot x) + B x \cdot 4 - 3 B x - 3 B \cdot 4 + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.7.8.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x + 57 = A x + 4 A + B x^{2} + B x \cdot 4 - 3 B x - 3 B \cdot 4 + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.7.8.1.2

Mueve $4$ a la izquierda de $B x$ .

$2 x + 57 = A x + 4 A + B x^{2} + 4 \cdot (B x) - 3 B x - 3 B \cdot 4 + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.7.8.1.3

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$2 x + 57 = A x + 4 A + B x^{2} + 4 B x - 3 B x - 12 B + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.7.8.2

Resta $3 B x$ de $4 B x$ .

$2 x + 57 = A x + 4 A + B x^{2} + 1 B x - 12 B + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.7.9

Multiplica $B$ por $1$ .

$2 x + 57 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.7.10

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 1.7.10.1

Cancela el factor común.

$2 x + 57 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + \frac{(C) {(x - 3)}^{2} (x + 4)}{x + 4}$

Paso 1.7.10.2

Divide $(C) {(x - 3)}^{2}$ por $1$ .

$2 x + 57 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + (C) {(x - 3)}^{2}$

Paso 1.7.11

Reescribe ${(x - 3)}^{2}$ como $(x - 3) (x - 3)$ .

$2 x + 57 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + C ((x - 3) (x - 3))$

Paso 1.7.12

Expande $(x - 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.7.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 57 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + C (x (x - 3) - 3 (x - 3))$

Paso 1.7.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 57 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + C (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))$

Paso 1.7.12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 57 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + C (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)$

Paso 1.7.13

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.7.13.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.13.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x + 57 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + C (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)$

Paso 1.7.13.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$2 x + 57 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + C (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)$

Paso 1.7.13.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$2 x + 57 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + C (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)$

Paso 1.7.13.2

Resta $3 x$ de $- 3 x$ .

$2 x + 57 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + C (x^{2} - 6 x + 9)$

Paso 1.7.14

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 57 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + C x^{2} + C (- 6 x) + C \cdot 9$

Paso 1.7.15

Simplifica.

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Paso 1.7.15.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x + 57 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + C x^{2} - 6 C x + C \cdot 9$

Paso 1.7.15.2

Mueve $9$ a la izquierda de $C$ .

$2 x + 57 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + C x^{2} - 6 C x + 9 \cdot C$

$2 x + 57 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + C x^{2} - 6 C x + 9 C$

Paso 1.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.8.1

Reordena $B$ y $x$ .

$2 x + 57 = A x + 4 A + B x^{2} + B x - 12 B + C x^{2} - 6 C x + 9 C$

Paso 1.8.2

Mueve $- 12 B$ .

$2 x + 57 = A x + 4 A + B x^{2} + B x + C x^{2} - 6 C x - 12 B + 9 C$

Paso 1.8.3

Mueve $4 A$ .

$2 x + 57 = A x + B x^{2} + B x + C x^{2} - 6 C x + 4 A - 12 B + 9 C$

Paso 1.8.4

Mueve $B x$ .

$2 x + 57 = A x + B x^{2} + C x^{2} + B x - 6 C x + 4 A - 12 B + 9 C$

Paso 1.8.5

Mueve $A x$ .

$2 x + 57 = B x^{2} + C x^{2} + A x + B x - 6 C x + 4 A - 12 B + 9 C$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = B + C$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$2 = A + B - 6 C$

Paso 2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$57 = 4 A - 12 B + 9 C$

Paso 2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = B + C$

$2 = A + B - 6 C$

$57 = 4 A - 12 B + 9 C$

$0 = B + C$

$2 = A + B - 6 C$

$57 = 4 A - 12 B + 9 C$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $B$ en $0 = B + C$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $B + C = 0$ .

$B + C = 0$

$2 = A + B - 6 C$

$57 = 4 A - 12 B + 9 C$

Paso 3.1.2

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$B = - C$

$2 = A + B - 6 C$

$57 = 4 A - 12 B + 9 C$

$B = - C$

$2 = A + B - 6 C$

$57 = 4 A - 12 B + 9 C$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $B$ por $- C$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $2 = A + B - 6 C$ por $- C$ .

$2 = A - C - 6 C$

$B = - C$

$57 = 4 A - 12 B + 9 C$

Paso 3.2.2

Simplifica $2 = A - C - 6 C$ .

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Paso 3.2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$2 = A - C - 6 C$

$B = - C$

$57 = 4 A - 12 B + 9 C$

$2 = A - C - 6 C$

$B = - C$

$57 = 4 A - 12 B + 9 C$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.2.1

Resta $6 C$ de $- C$ .

$2 = A - 7 C$

$B = - C$

$57 = 4 A - 12 B + 9 C$

$2 = A - 7 C$

$B = - C$

$57 = 4 A - 12 B + 9 C$

$2 = A - 7 C$

$B = - C$

$57 = 4 A - 12 B + 9 C$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $B$ en $57 = 4 A - 12 B + 9 C$ por $- C$ .

$57 = 4 A - 12 (- C) + 9 C$

$2 = A - 7 C$

$B = - C$

Paso 3.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.4.1

Simplifica $4 A - 12 (- C) + 9 C$ .

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Paso 3.2.4.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 12$ .

$57 = 4 A + 12 C + 9 C$

$2 = A - 7 C$

$B = - C$

Paso 3.2.4.1.2

Suma $12 C$ y $9 C$ .

$57 = 4 A + 21 C$

$2 = A - 7 C$

$B = - C$

$57 = 4 A + 21 C$

$2 = A - 7 C$

$B = - C$

$57 = 4 A + 21 C$

$2 = A - 7 C$

$B = - C$

$57 = 4 A + 21 C$

$2 = A - 7 C$

$B = - C$

Paso 3.3

Resuelve $A$ en $2 = A - 7 C$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $A - 7 C = 2$ .

$A - 7 C = 2$

$57 = 4 A + 21 C$

$B = - C$

Paso 3.3.2

Suma $7 C$ a ambos lados de la ecuación.

$A = 2 + 7 C$

$57 = 4 A + 21 C$

$B = - C$

$A = 2 + 7 C$

$57 = 4 A + 21 C$

$B = - C$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $A$ por $2 + 7 C$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $57 = 4 A + 21 C$ por $2 + 7 C$ .

$57 = 4 (2 + 7 C) + 21 C$

$A = 2 + 7 C$

$B = - C$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $4 (2 + 7 C) + 21 C$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$57 = 4 \cdot 2 + 4 (7 C) + 21 C$

$A = 2 + 7 C$

$B = - C$

Paso 3.4.2.1.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$57 = 8 + 4 (7 C) + 21 C$

$A = 2 + 7 C$

$B = - C$

Paso 3.4.2.1.1.3

Multiplica $7$ por $4$ .

$57 = 8 + 28 C + 21 C$

$A = 2 + 7 C$

$B = - C$

$57 = 8 + 28 C + 21 C$

$A = 2 + 7 C$

$B = - C$

Paso 3.4.2.1.2

Suma $28 C$ y $21 C$ .

$57 = 8 + 49 C$

$A = 2 + 7 C$

$B = - C$

$57 = 8 + 49 C$

$A = 2 + 7 C$

$B = - C$

$57 = 8 + 49 C$

$A = 2 + 7 C$

$B = - C$

$57 = 8 + 49 C$

$A = 2 + 7 C$

$B = - C$

Paso 3.5

Resuelve $C$ en $57 = 8 + 49 C$ .

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $8 + 49 C = 57$ .

$8 + 49 C = 57$

$A = 2 + 7 C$

$B = - C$

Paso 3.5.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.5.2.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$49 C = 57 - 8$

$A = 2 + 7 C$

$B = - C$

Paso 3.5.2.2

Resta $8$ de $57$ .

$49 C = 49$

$A = 2 + 7 C$

$B = - C$

$49 C = 49$

$A = 2 + 7 C$

$B = - C$

Paso 3.5.3

Divide cada término en $49 C = 49$ por $49$ y simplifica.

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Paso 3.5.3.1

Divide cada término en $49 C = 49$ por $49$ .

$\frac{49 C}{49} = \frac{49}{49}$

$A = 2 + 7 C$

$B = - C$

Paso 3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.2.1

Cancela el factor común de $49$ .

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Paso 3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{49 C}{49} = \frac{49}{49}$

$A = 2 + 7 C$

$B = - C$

Paso 3.5.3.2.1.2

Divide $C$ por $1$ .

$C = \frac{49}{49}$

$A = 2 + 7 C$

$B = - C$

$C = \frac{49}{49}$

$A = 2 + 7 C$

$B = - C$

$C = \frac{49}{49}$

$A = 2 + 7 C$

$B = - C$

Paso 3.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.3.1

Divide $49$ por $49$ .

$C = 1$

$A = 2 + 7 C$

$B = - C$

$C = 1$

$A = 2 + 7 C$

$B = - C$

$C = 1$

$A = 2 + 7 C$

$B = - C$

$C = 1$

$A = 2 + 7 C$

$B = - C$

Paso 3.6

Reemplaza todos los casos de $C$ por $1$ en cada ecuación.

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Paso 3.6.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $A = 2 + 7 C$ por $1$ .

$A = 2 + 7 (1)$

$C = 1$

$B = - C$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.2.1

Simplifica $2 + 7 (1)$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Multiplica $7$ por $1$ .

$A = 2 + 7$

$C = 1$

$B = - C$

Paso 3.6.2.1.2

Suma $2$ y $7$ .

$A = 9$

$C = 1$

$B = - C$

$A = 9$

$C = 1$

$B = - C$

$A = 9$

$C = 1$

$B = - C$

Paso 3.6.3

Reemplaza todos los casos de $C$ en $B = - C$ por $1$ .

$B = - (1)$

$A = 9$

$C = 1$

Paso 3.6.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$B = - 1$

$A = 9$

$C = 1$

$B = - 1$

$A = 9$

$C = 1$

$B = - 1$

$A = 9$

$C = 1$

Paso 3.7

Enumera todas las soluciones.

$B = - 1, A = 9, C = 1$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C}{x + 4}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{9}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{- 1}{x - 3} + \frac{1}{x + 4}$