Precálculo Ejemplos

$r = 3 + 2 \sin (θ)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + 2 \sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $\frac{d}{d θ} [3] + \frac{d}{d θ} [2 \sin (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [3] + \frac{d}{d θ} [2 \sin (θ)]$

Paso 1.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $3$ con respecto a $θ$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d θ} [2 \sin (θ)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d θ} [2 \sin (θ)]$ .

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Paso 1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $2 \sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $2 \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Paso 1.2.2

La derivada de $\sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $\cos (θ)$ .

$0 + 2 \cos (θ)$

Paso 1.3

Suma $0$ y $2 \cos (θ)$ .

$2 \cos (θ)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $2 \cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$f'' (θ) = 2 \frac{d}{d θ} (\cos (θ))$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $- \sin (θ)$ .

$f'' (θ) = 2 (- \sin (θ))$

Paso 2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (θ) = - 2 \sin (θ)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$2 \cos (θ) = 0$

Paso 4

Divide cada término en $2 \cos (θ) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $2 \cos (θ) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 4.2.1.2

Divide $\cos (θ)$ por $1$ .

$\cos (θ) = \frac{0}{2}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$\cos (θ) = 0$

Paso 5

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$θ = \arccos (0)$

Paso 6

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Paso 7

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 8

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 8.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 8.2

Combina fracciones.

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Paso 8.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 8.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 8.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Paso 9

La solución a la ecuación $θ = \frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada en $θ = \frac{π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 11

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 11.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 11.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 12

$θ = \frac{π}{2}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$θ = \frac{π}{2}$ es un máximo local

Paso 13

Obtén el valor de y cuando $θ = \frac{π}{2}$ .

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Paso 13.1

Reemplaza la variable $θ$ con $\frac{π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{2}) = 3 + 2 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 13.2

Simplifica el resultado.

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Paso 13.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.2.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 + 2 \cdot 1$

Paso 13.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 + 2$

Paso 13.2.2

Suma $3$ y $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = 5$

Paso 13.2.3

La respuesta final es $5$ .

$y = 5$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada en $θ = \frac{3 π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 15

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 15.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Paso 15.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

Paso 15.3

Multiplica $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 15.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

Paso 15.3.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2$

Paso 16

$θ = \frac{3 π}{2}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$θ = \frac{3 π}{2}$ es un mínimo local

Paso 17

Obtén el valor de y cuando $θ = \frac{3 π}{2}$ .

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Paso 17.1

Reemplaza la variable $θ$ con $\frac{3 π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 17.2

Simplifica el resultado.

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Paso 17.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 17.2.1.1

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Paso 17.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 2 (- 1 \cdot 1)$

Paso 17.2.1.3

Multiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 17.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 2 \cdot - 1$

Paso 17.2.1.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 - 2$

Paso 17.2.2

Resta $2$ de $3$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 1$

Paso 17.2.3

La respuesta final es $1$ .

$y = 1$

Paso 18

Estos son los extremos locales de $f (θ) = 3 + 2 \sin (θ)$ .

$(\frac{π}{2}, 5)$ es un máximo local

$(\frac{3 π}{2}, 1)$ es un mínimo local

Paso 19