Precálculo Ejemplos

$x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y + 16 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y = - 16$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $x^{2} - 8 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común de $- 8$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 4}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.4

Divide $- 4$ por $1$ .

$d = - 4$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $64$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$e = 0 - 16$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - 4)}^{2} - 16$ .

${(x - 4)}^{2} - 16$

Paso 1.3

Sustituye ${(x - 4)}^{2} - 16$ por $x^{2} - 8 x$ en la ecuación $x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y = - 16$ .

${(x - 4)}^{2} - 16 - 3 y^{2} + 12 y = - 16$

Paso 1.4

Mueve $- 16$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $16$ a ambos lados.

${(x - 4)}^{2} - 3 y^{2} + 12 y = - 16 + 16$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $- 3 y^{2} + 12 y$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 3$

$b = 12$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot - 3}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $12$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 3$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (- 3)}$

Paso 1.5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

Paso 1.5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{6}{- 3}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $6$ y $- 3$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$d = \frac{3 (2)}{- 3}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Paso 1.5.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$d = - 2$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot - 3}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 3}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$e = 0 - \frac{144}{- 12}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Divide $144$ por $- 12$ .

$e = 0 - - 12$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 12$ .

$e = 0 + 12$

Paso 1.5.4.2.2

Suma $0$ y $12$ .

$e = 12$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 3 {(y - 2)}^{2} + 12$ .

$- 3 {(y - 2)}^{2} + 12$

Paso 1.6

Sustituye $- 3 {(y - 2)}^{2} + 12$ por $- 3 y^{2} + 12 y$ en la ecuación $x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y = - 16$ .

${(x - 4)}^{2} - 3 {(y - 2)}^{2} + 12 = - 16 + 16$

Paso 1.7

Mueve $12$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $12$ a ambos lados.

${(x - 4)}^{2} - 3 {(y - 2)}^{2} = - 16 + 16 - 12$

Paso 1.8

Simplifica $- 16 + 16 - 12$ .

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Paso 1.8.1

Suma $- 16$ y $16$ .

${(x - 4)}^{2} - 3 {(y - 2)}^{2} = 0 - 12$

Paso 1.8.2

Resta $12$ de $0$ .

${(x - 4)}^{2} - 3 {(y - 2)}^{2} = - 12$

Paso 1.9

Da la vuelta al signo de cada término de la ecuación para que el término del lado derecho sea positivo.

$- {(x - 4)}^{2} + 3 {(y - 2)}^{2} = 12$

Paso 1.10

Divide cada término por $12$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$- \frac{{(x - 4)}^{2}}{12} + \frac{3 {(y - 2)}^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Paso 1.11

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{4} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{12} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 2$

$b = 2 \sqrt{3}$

$k = 2$

$h = 4$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(4, 2)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{4 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 5.3.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 5.3.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{1}}$

Paso 5.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3}$

Paso 5.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$\sqrt{4 + 12}$

Paso 5.3.3.2

Suma $4$ y $12$ .

$\sqrt{16}$

Paso 5.3.3.3

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Paso 5.3.3.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$4$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(4, 4)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(4, 0)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm a)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(4, 4), (4, 0)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(4, 6)$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(4, - 2)$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(4, 6), (4, - 2)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{2}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{2}$

Paso 8.3.1.2

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Paso 8.3.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Paso 8.3.1.4

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 8.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Paso 8.3.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Paso 8.3.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Paso 8.3.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Paso 8.3.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{1}}}{2}$

Paso 8.3.1.4.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2}$

Paso 8.3.1.5

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{4 + 12}}{2}$

Paso 8.3.1.6

Suma $4$ y $12$ .

$\frac{\sqrt{16}}{2}$

Paso 8.3.1.7

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

Paso 8.3.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{4}{2}$

Paso 8.3.2

Divide $4$ por $2$ .

$2$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 9.3.1.1

Factoriza $2$ de $2 {\sqrt{3}}^{2}$ .

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{2})}{4}$

Paso 9.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 9.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 9.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Paso 9.3.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 9.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Paso 9.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Paso 9.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Paso 9.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Paso 9.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3^{1}}{2}$

Paso 9.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{3}{2}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ porque esta hipérbola abre hacia arriba y hacia abajo.

$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (4)) + 2$

Paso 11

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (4)) + 2$

Paso 11.2

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - 4) + 2$

Paso 11.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4 + 2$

Paso 11.2.3

Combina $\frac{\sqrt{3}}{3}$ y $x$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4 + 2$

Paso 11.2.4

Combina $\frac{\sqrt{3}}{3}$ y $- 4$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3} \cdot - 4}{3} + 2$

Paso 11.2.5

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.5.1

Mueve $- 4$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3} + 2$

Paso 11.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$

Paso 12

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (4)) + 2$

Paso 12.2

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - 4) + 2$

Paso 12.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4 + 2$

Paso 12.2.3

Combina $x$ y $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4 + 2$

Paso 12.2.4

Multiplica $- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4$ .

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Paso 12.2.4.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + 4 \frac{\sqrt{3}}{3} + 2$

Paso 12.2.4.2

Combina $4$ y $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2, y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(4, 2)$

Vértices: $(4, 4), (4, 0)$

Focos: $(4, 6), (4, - 2)$

Excentricidad: $2$

Parámetro focal: $\frac{3}{2}$

Asíntotas: $y = \frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$ , $y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$

Paso 15