Precálculo Ejemplos

${(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{3}$

Paso 1

Combina $\frac{\sqrt{3}}{2}$ y $i$ .

${(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Paso 2

Usa el teorema del binomio.

${(\frac{1}{2})}^{3} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2^{3}} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{8} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.4

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} + 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{8} + 3 \frac{1}{2^{2}} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.6

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{8} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.7

Combina $3$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.8

Multiplica $\frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

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Paso 3.1.8.1

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 (\sqrt{3} i)}{4 \cdot 2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.8.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 (\sqrt{3} i)}{8} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.9

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3}{2} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.10

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.10.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3}{2} \cdot \frac{{(\sqrt{3} i)}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.10.2

Aplica la regla del producto a $\sqrt{3} i$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2} i^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.11

Combinar.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.12

Multiplica $2$ por $2^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.12.1

Multiplica $2$ por $2^{2}$ .

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Paso 3.1.12.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2^{1} \cdot 2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.12.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2^{1 + 2}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.12.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.13

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.13.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.1.13.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.13.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.13.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.13.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.13.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.13.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3^{1} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.13.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3 i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.13.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3 \cdot - 1}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.13.3

Combina exponentes.

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Paso 3.1.13.3.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{9 \cdot - 1}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.13.3.2

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{- 9}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.14

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{- 9}{8} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.16

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.16.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{{(\sqrt{3} i)}^{3}}{2^{3}}$

Paso 3.1.16.2

Aplica la regla del producto a $\sqrt{3} i$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{{\sqrt{3}}^{3} i^{3}}{2^{3}}$

Paso 3.1.17

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.17.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{\sqrt{3^{3}} i^{3}}{2^{3}}$

Paso 3.1.17.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{\sqrt{27} i^{3}}{2^{3}}$

Paso 3.1.17.3

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 3.1.17.3.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{\sqrt{9 (3)} i^{3}}{2^{3}}$

Paso 3.1.17.3.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{3}}{2^{3}}$

Paso 3.1.17.4

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i^{3}}{2^{3}}$

Paso 3.1.17.5

Factoriza $i^{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{3 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i)}{2^{3}}$

Paso 3.1.17.6

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{3 \sqrt{3} (- 1 \cdot i)}{2^{3}}$

Paso 3.1.17.7

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{3 \sqrt{3} \cdot - 1 i}{2^{3}}$

Paso 3.1.17.8

Combina exponentes.

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Paso 3.1.17.8.1

Factoriza el negativo.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{- (3 \sqrt{3} i)}{2^{3}}$

Paso 3.1.17.8.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{- 3 (\sqrt{3} i)}{2^{3}}$

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{- 3 \sqrt{3} i}{2^{3}}$

Paso 3.1.18

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{- 3 \sqrt{3} i}{8}$

Paso 3.1.19

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8}$

Paso 3.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + 3 \sqrt{3} i - 9 - 3 \sqrt{3} i}{8}$

Paso 3.2.2

Resta $9$ de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3} i - 8 - 3 \sqrt{3} i}{8}$

Paso 3.2.3

Resta $3 \sqrt{3} i$ de $3 \sqrt{3} i$ .

$\frac{0 - 8}{8}$

Paso 3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.4.1

Resta $8$ de $0$ .

$\frac{- 8}{8}$

Paso 3.2.4.2

Divide $- 8$ por $8$ .

$- 1$