Precálculo Ejemplos

$\ln (\frac{x - 1}{x}) + \ln (\frac{x}{x + 1}) - \ln (x^{2} - 1)$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{x - 1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1}) - \ln (x^{2} - 1)$

Paso 2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x - 1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1}}{x^{2} - 1})$

Paso 3

Multiplica $\frac{x - 1}{x}$ por $\frac{x}{x + 1}$ .

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{x^{2} - 1})$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{x^{2} - 1^{2}})$

Paso 4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{(x + 1) (x - 1)})$

Paso 5

Reduce la expresión $\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{(x + 1) (x - 1)})$

Paso 5.2

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{\frac{x - 1}{x + 1}}{(x + 1) (x - 1)})$

Paso 6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\ln (\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{(x + 1) (x - 1)})$

Paso 7

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 7.1

Factoriza $x - 1$ de $(x + 1) (x - 1)$ .

$\ln (\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{(x - 1) (x + 1)})$

Paso 7.2

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{(x - 1) (x + 1)})$

Paso 7.3

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1})$

Paso 8

Multiplica $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{1}{x + 1}$ .

$\ln (\frac{1}{(x + 1) (x + 1)})$

Paso 9

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)})$

Paso 10

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}})$

Paso 11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}})$

Paso 12

Suma $1$ y $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{2}})$