Precálculo Ejemplos

${(3 x - 2 y)}^{5}$

Paso 1

El triángulo de Pascal se puede visualizar de la siguiente manera:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

El triángulo puede usarse para calcular los coeficientes de la expansión de ${(a + b)}^{n}$ al tomar el exponente $n$ y sumar $1$ . Los coeficientes se corresponderán con la línea $n + 1$ del triángulo. Para ${(3 x - 2 y)}^{5}$ , $n = 5$ de modo que los coeficientes de la expansión se corresponderán con la línea $6$ .

Paso 2

La expansión sigue la regla ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Los valores de los coeficientes, desde el triángulo, son $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a$ , $3 x$ y $b$ en la expresión $- 2 y$ .

$1 {(3 x)}^{5} {(- 2 y)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(3 x)}^{5}$ por $1$ .

${(3 x)}^{5} {(- 2 y)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $3 x$ .

$3^{5} x^{5} {(- 2 y)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.3

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$243 x^{5} {(- 2 y)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.4

Aplica la regla del producto a $- 2 y$ .

$243 x^{5} ({(- 2)}^{0} y^{0}) + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$243 \cdot {(- 2)}^{0} x^{5} y^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$243 \cdot 1 x^{5} y^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.7

Multiplica $243$ por $1$ .

$243 x^{5} y^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.8

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$243 x^{5} \cdot 1 + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.9

Multiplica $243$ por $1$ .

$243 x^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.10

Aplica la regla del producto a $3 x$ .

$243 x^{5} + 5 (3^{4} x^{4}) {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.11

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$243 x^{5} + 5 (81 x^{4}) {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.12

Multiplica $81$ por $5$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.13

Simplifica.

$243 x^{5} + 405 x^{4} (- 2 y) + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.14

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$243 x^{5} + 405 \cdot - 2 x^{4} y + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.15

Multiplica $405$ por $- 2$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.16

Aplica la regla del producto a $3 x$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 10 (3^{3} x^{3}) {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.17

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 10 (27 x^{3}) {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.18

Multiplica $27$ por $10$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 270 x^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.19

Aplica la regla del producto a $- 2 y$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 270 x^{3} ({(- 2)}^{2} y^{2}) + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.20

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 270 \cdot {(- 2)}^{2} x^{3} y^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.21

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 270 \cdot 4 x^{3} y^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.22

Multiplica $270$ por $4$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.23

Aplica la regla del producto a $3 x$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} + 10 (3^{2} x^{2}) {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.24

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} + 10 (9 x^{2}) {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.25

Multiplica $9$ por $10$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} + 90 x^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.26

Aplica la regla del producto a $- 2 y$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} + 90 x^{2} ({(- 2)}^{3} y^{3}) + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.27

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} + 90 \cdot {(- 2)}^{3} x^{2} y^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.28

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} + 90 \cdot - 8 x^{2} y^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.29

Multiplica $90$ por $- 8$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.30

Simplifica.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 5 (3 x) {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.31

Multiplica $3$ por $5$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 15 x {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.32

Aplica la regla del producto a $- 2 y$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 15 x ({(- 2)}^{4} y^{4}) + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.33

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 15 \cdot {(- 2)}^{4} x y^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.34

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 15 \cdot 16 x y^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.35

Multiplica $15$ por $16$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 240 x y^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.36

Multiplica ${(3 x)}^{0}$ por $1$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 240 x y^{4} + {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.37

Aplica la regla del producto a $3 x$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 240 x y^{4} + 3^{0} x^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.38

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 240 x y^{4} + 1 x^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.39

Multiplica $x^{0}$ por $1$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 240 x y^{4} + x^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.40

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 240 x y^{4} + 1 {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.41

Multiplica ${(- 2 y)}^{5}$ por $1$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 240 x y^{4} + {(- 2 y)}^{5}$

Paso 4.42

Aplica la regla del producto a $- 2 y$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 240 x y^{4} + {(- 2)}^{5} y^{5}$

Paso 4.43

Eleva $- 2$ a la potencia de $5$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 240 x y^{4} - 32 y^{5}$