Precálculo Ejemplos

$7 x^{2} + 2 y^{2} = 14$

Paso 1

Divide cada término por $14$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{7 x^{2}}{14} + \frac{2 y^{2}}{14} = \frac{14}{14}$

Paso 2

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{7} = 1$

Paso 3

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Paso 4

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = \sqrt{7}$

$b = \sqrt{2}$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 5

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 6

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{7})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}}{\sqrt{7}}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 7.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{7}}$

Paso 7.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{7^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{7}}$

Paso 7.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{7^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{7}}$

Paso 7.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{7^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{7}}$

Paso 7.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{7^{1} - {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{7}}$

Paso 7.1.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{7 - {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{7}}$

Paso 7.1.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 7.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{7 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{7}}$

Paso 7.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{7 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{7}}$

Paso 7.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{7 - 2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{7}}$

Paso 7.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{7 - 2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{7}}$

Paso 7.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{7 - 2^{1}}}{\sqrt{7}}$

Paso 7.1.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{7 - 1 \cdot 2}}{\sqrt{7}}$

Paso 7.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{7 - 2}}{\sqrt{7}}$

Paso 7.1.4

Resta $2$ de $7$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$

Paso 7.2

Multiplica $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Paso 7.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Paso 7.3.2

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Paso 7.3.3

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Paso 7.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Paso 7.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Paso 7.3.6

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 7.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 7.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Paso 7.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7}$

Paso 7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{5 \cdot 7}}{7}$

Paso 7.4.2

Multiplica $5$ por $7$ .

$\frac{\sqrt{35}}{7}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{35}}{7}$

Forma decimal:

$0.84515425 \dots$

Paso 9