Precálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{3} \csc (x) - 2$

Paso 1

Establece $\sqrt{3} \csc (x) - 2$ igual a $0$ .

$\sqrt{3} \csc (x) - 2 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{3} \csc (x) = 2$

Paso 2.2

Divide cada término en $\sqrt{3} \csc (x) = 2$ por $\sqrt{3}$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $\sqrt{3} \csc (x) = 2$ por $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \csc (x)}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $\sqrt{3}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{3} \csc (x)}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $\csc (x)$ por $1$ .

$\csc (x) = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.2.3.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.2.3.2.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 2.2.3.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 2.2.3.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 2.2.3.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 2.2.3.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 2.2.3.2.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.2.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.2.3.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.3.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.3.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.3.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.3.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 2.2.3.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.3

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cosecante.

$x = arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Paso 2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.1

El valor exacto de $arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Paso 2.5

La cosecante es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{3}$

Paso 2.6

Simplifica $π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 2.6.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 2.6.2.1

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Paso 2.6.3.2

Resta $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Paso 2.7

Obtén el período de $\csc (x)$ .

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Paso 2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.8

El período de la función $\csc (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3