Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} + 7 x^{2} + 14 x + 8$

Paso 1

Establece $x^{3} + 7 x^{2} + 14 x + 8$ igual a $0$ .

$x^{3} + 7 x^{2} + 14 x + 8 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$x^{3} + 8 + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Paso 2.1.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$x^{3} + 2^{3} + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Paso 2.1.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}) + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}) + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Paso 2.1.4.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $7 x$ de $7 x^{2} + 14 x$ .

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Paso 2.1.5.1

Factoriza $7 x$ de $7 x^{2}$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x) + 14 x = 0$

Paso 2.1.5.2

Factoriza $7 x$ de $14 x$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x) + 7 x (2) = 0$

Paso 2.1.5.3

Factoriza $7 x$ de $7 x (x) + 7 x (2)$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x + 2) = 0$

Paso 2.1.6

Factoriza $x + 2$ de $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x + 2)$ .

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Paso 2.1.6.1

Factoriza $x + 2$ de $7 x (x + 2)$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + (x + 2) (7 x) = 0$

Paso 2.1.6.2

Factoriza $x + 2$ de $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + (x + 2) (7 x)$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4 + 7 x) = 0$

Paso 2.1.7

Suma $- 2 x$ y $7 x$ .

$(x + 2) (x^{2} + 5 x + 4) = 0$

Paso 2.1.8

Factoriza.

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Paso 2.1.8.1

Factoriza $x^{2} + 5 x + 4$ con el método AC.

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Paso 2.1.8.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $4$ y cuya suma es $5$ .

$1, 4$

Paso 2.1.8.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x + 2) ((x + 1) (x + 4)) = 0$

Paso 2.1.8.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 2) (x + 1) (x + 4) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 2.3

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 2.3.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.4

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.5

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 2) (x + 1) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = - 2, - 1, - 4$

Paso 3