Precálculo Ejemplos

$x^{4} - 80 x^{2} + 1024 < 0$

Paso 1

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$u^{2} - 80 u + 1024 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 2

Factoriza $u^{2} - 80 u + 1024$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $1024$ y cuya suma es $- 80$ .

$- 64, - 16$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 64) (u - 16) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 64 = 0$

$u - 16 = 0$

Paso 4

Establece $u - 64$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 4.1

Establece $u - 64$ igual a $0$ .

$u - 64 = 0$

Paso 4.2

Suma $64$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 64$

Paso 5

Establece $u - 16$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 5.1

Establece $u - 16$ igual a $0$ .

$u - 16 = 0$

Paso 5.2

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 16$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 64) (u - 16) = 0$ verdadera.

$u = 64, 16$

Paso 7

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = 64$

${(x^{2})}^{1} = 16$

Paso 8

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = 64$

Paso 9

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 9.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{64}$

Paso 9.2

Simplifica $\pm \sqrt{64}$ .

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Paso 9.2.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Paso 9.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 8$

Paso 9.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 9.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 8$

Paso 9.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 8$

Paso 9.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 8, - 8$

Paso 10

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 16$

Paso 11

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = 16$

Paso 11.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{16}$

Paso 11.3

Simplifica $\pm \sqrt{16}$ .

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Paso 11.3.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Paso 11.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 4$

Paso 11.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 11.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 4$

Paso 11.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 4$

Paso 11.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 4, - 4$

Paso 12

La solución a $x^{4} - 80 x^{2} + 1024 = 0$ es $x = 8, - 8, 4, - 4$ .

$x = 8, - 8, 4, - 4$

Paso 13

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$4 < x < 8$

$x > 8$

Paso 14

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 14.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 8$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 8$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 10$

Paso 14.1.2

Reemplaza $x$ con $- 10$ en la desigualdad original.

${(- 10)}^{4} - 80 {(- 10)}^{2} + 1024 < 0$

Paso 14.1.3

$3024$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 14.2

Prueba un valor en el intervalo $- 8 < x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 8 < x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 14.2.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

${(- 6)}^{4} - 80 {(- 6)}^{2} + 1024 < 0$

Paso 14.2.3

$- 560$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 14.3

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 14.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{4} - 80 {(0)}^{2} + 1024 < 0$

Paso 14.3.3

$1024$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 14.4

Prueba un valor en el intervalo $4 < x < 8$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.4.1

Elije un valor en el intervalo $4 < x < 8$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 14.4.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

${(6)}^{4} - 80 {(6)}^{2} + 1024 < 0$

Paso 14.4.3

$- 560$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 14.5

Prueba un valor en el intervalo $x > 8$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.5.1

Elije un valor en el intervalo $x > 8$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 10$

Paso 14.5.2

Reemplaza $x$ con $10$ en la desigualdad original.

${(10)}^{4} - 80 {(10)}^{2} + 1024 < 0$

Paso 14.5.3

$3024$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 14.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < - 4$ Verdadero

$- 4 < x < 4$ Falso

$4 < x < 8$ Verdadero

$x > 8$ Falso

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < - 4$ Verdadero

$- 4 < x < 4$ Falso

$4 < x < 8$ Verdadero

$x > 8$ Falso

Paso 15

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 8 < x < - 4$ o $4 < x < 8$

Paso 16

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- 8, - 4) \cup (4, 8)$

Paso 17