Precálculo Ejemplos

$x^{3} - x^{2} - 4 x + 4 < 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{3} - x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x^{3} - x^{2}) - 4 x + 4 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x^{2} (x - 1) - 4 (x - 1) = 0$

Paso 2.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 1$ .

$(x - 1) (x^{2} - 4) = 0$

Paso 2.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Paso 2.4

Factoriza.

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Paso 2.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(x - 1) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Paso 2.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 4

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 5

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 6

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 6.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 1, - 2, 2$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

${(- 4)}^{3} - {(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 + 4 < 0$

Paso 9.1.3

$- 60$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{3} - {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 4 < 0$

Paso 9.2.3

$4$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1.5$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $1.5$ en la desigualdad original.

${(1.5)}^{3} - {(1.5)}^{2} - 4 \cdot 1.5 + 4 < 0$

Paso 9.3.3

$- 0.875$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 9.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 9.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

${(4)}^{3} - {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 4 < 0$

Paso 9.4.3

$36$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 9.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 2$ o $1 < x < 2$

Paso 11

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 2) \cup (1, 2)$

Paso 12