Precálculo Ejemplos

$\sin (3 x) = \frac{1}{2}$ , $[0, 2 π)$

Paso 1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$3 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$3 x = \frac{π}{6}$

Paso 3

Divide cada término en $3 x = \frac{π}{6}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $3 x = \frac{π}{6}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Paso 3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 3.3.2

Multiplica $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{6}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 3}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $6$ por $3$ .

$x = \frac{π}{18}$

Paso 4

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$3 x = π - \frac{π}{6}$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$3 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 5.1.2

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 5.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 5.1.4

Resta $π$ de $π \cdot 6$ .

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Paso 5.1.4.1

Reordena $π$ y $6$ .

$3 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Paso 5.1.4.2

Resta $π$ de $6 \cdot π$ .

$3 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Paso 5.2

Divide cada término en $3 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $3 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{3}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{3}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{3}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Multiplica $\frac{5 π}{6}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 3}$

Paso 5.2.3.2.2

Multiplica $6$ por $3$ .

$x = \frac{5 π}{18}$

Paso 6

Obtén el período de $\sin (3 x)$ .

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Paso 6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.2

Reemplaza $b$ con $3$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Paso 6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Paso 7

El período de la función $\sin (3 x)$ es $\frac{2 π}{3}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{2 π}{3}$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{18} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Obtén los valores de $n$ que producen un valor dentro del intervalo $[0, 2 π)$ .

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Paso 8.1

Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Paso 8.1.1

Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π (0)}{3}$

Paso 8.1.2

Simplifica.

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Paso 8.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.2.1.1

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 8.1.2.1.1.1

Factoriza $3$ de $2 π (0)$ .

$\frac{π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

Paso 8.1.2.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.1.2.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Paso 8.1.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Paso 8.1.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{π}{18} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

Paso 8.1.2.1.1.2.4

Divide $2 π \cdot (0)$ por $1$ .

$\frac{π}{18} + 2 π \cdot (0)$

Paso 8.1.2.1.2

Multiplica $2 π (0)$ .

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Paso 8.1.2.1.2.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$\frac{π}{18} + 0 π$

Paso 8.1.2.1.2.2

Multiplica $0$ por $π$ .

$\frac{π}{18} + 0$

Paso 8.1.2.2

Suma $\frac{π}{18}$ y $0$ .

$\frac{π}{18}$

Paso 8.1.3

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}$

Paso 8.2

Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Paso 8.2.1

Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π (0)}{3}$

Paso 8.2.2

Simplifica.

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Paso 8.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.2.1.1

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 8.2.2.1.1.1

Factoriza $3$ de $2 π (0)$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

Paso 8.2.2.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Paso 8.2.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Paso 8.2.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

Paso 8.2.2.1.1.2.4

Divide $2 π \cdot (0)$ por $1$ .

$\frac{5 π}{18} + 2 π \cdot (0)$

Paso 8.2.2.1.2

Multiplica $2 π (0)$ .

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Paso 8.2.2.1.2.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$\frac{5 π}{18} + 0 π$

Paso 8.2.2.1.2.2

Multiplica $0$ por $π$ .

$\frac{5 π}{18} + 0$

Paso 8.2.2.2

Suma $\frac{5 π}{18}$ y $0$ .

$\frac{5 π}{18}$

Paso 8.2.3

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{5 π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}$

Paso 8.3

Inserta $1$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Paso 8.3.1

Inserta $1$ en $n$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π (1)}{3}$

Paso 8.3.2

Simplifica.

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Paso 8.3.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π}{3}$

Paso 8.3.2.2

Para escribir $\frac{2 π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{6}$

Paso 8.3.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $18$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.3.2.3.1

Multiplica $\frac{2 π}{3}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π \cdot 6}{3 \cdot 6}$

Paso 8.3.2.3.2

Multiplica $3$ por $6$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π \cdot 6}{18}$

Paso 8.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π + 2 π \cdot 6}{18}$

Paso 8.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.2.5.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{π + 12 π}{18}$

Paso 8.3.2.5.2

Suma $π$ y $12 π$ .

$\frac{13 π}{18}$

Paso 8.3.3

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{13 π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}, \frac{13 π}{18}$

Paso 8.4

Inserta $1$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Paso 8.4.1

Inserta $1$ en $n$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π (1)}{3}$

Paso 8.4.2

Simplifica.

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Paso 8.4.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π}{3}$

Paso 8.4.2.2

Para escribir $\frac{2 π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{6}$

Paso 8.4.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $18$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.4.2.3.1

Multiplica $\frac{2 π}{3}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π \cdot 6}{3 \cdot 6}$

Paso 8.4.2.3.2

Multiplica $3$ por $6$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π \cdot 6}{18}$

Paso 8.4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 π + 2 π \cdot 6}{18}$

Paso 8.4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 8.4.2.5.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{5 π + 12 π}{18}$

Paso 8.4.2.5.2

Suma $5 π$ y $12 π$ .

$\frac{17 π}{18}$

Paso 8.4.3

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{17 π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}, \frac{13 π}{18}, \frac{17 π}{18}$

Paso 8.5

Inserta $2$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Paso 8.5.1

Inserta $2$ en $n$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π (2)}{3}$

Paso 8.5.2

Simplifica.

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Paso 8.5.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{π}{18} + \frac{4 π}{3}$

Paso 8.5.2.2

Para escribir $\frac{4 π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{18} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{6}{6}$

Paso 8.5.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $18$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.5.2.3.1

Multiplica $\frac{4 π}{3}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{18} + \frac{4 π \cdot 6}{3 \cdot 6}$

Paso 8.5.2.3.2

Multiplica $3$ por $6$ .

$\frac{π}{18} + \frac{4 π \cdot 6}{18}$

Paso 8.5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π + 4 π \cdot 6}{18}$

Paso 8.5.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 8.5.2.5.1

Multiplica $6$ por $4$ .

$\frac{π + 24 π}{18}$

Paso 8.5.2.5.2

Suma $π$ y $24 π$ .

$\frac{25 π}{18}$

Paso 8.5.3

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{25 π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}, \frac{13 π}{18}, \frac{17 π}{18}, \frac{25 π}{18}$

Paso 8.6

Inserta $2$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Paso 8.6.1

Inserta $2$ en $n$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π (2)}{3}$

Paso 8.6.2

Simplifica.

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Paso 8.6.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{4 π}{3}$

Paso 8.6.2.2

Para escribir $\frac{4 π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{6}{6}$

Paso 8.6.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $18$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.6.2.3.1

Multiplica $\frac{4 π}{3}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{4 π \cdot 6}{3 \cdot 6}$

Paso 8.6.2.3.2

Multiplica $3$ por $6$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{4 π \cdot 6}{18}$

Paso 8.6.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 π + 4 π \cdot 6}{18}$

Paso 8.6.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 8.6.2.5.1

Multiplica $6$ por $4$ .

$\frac{5 π + 24 π}{18}$

Paso 8.6.2.5.2

Suma $5 π$ y $24 π$ .

$\frac{29 π}{18}$

Paso 8.6.3

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{29 π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}, \frac{13 π}{18}, \frac{17 π}{18}, \frac{25 π}{18}, \frac{29 π}{18}$