Precálculo Ejemplos

$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 4 = 0$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(2)}^{4} + 2 {(2)}^{3} - 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$16 + 2 {(2)}^{3} - 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

Paso 4.1.2

Multiplica $2$ por ${(2)}^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $2$ por ${(2)}^{3}$ .

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Paso 4.1.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$16 + 2^{1} {(2)}^{3} - 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

Paso 4.1.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$16 + 2^{1 + 3} - 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

Paso 4.1.2.2

Suma $1$ y $3$ .

$16 + 2^{4} - 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

Paso 4.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$16 + 16 - 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

Paso 4.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$16 + 16 - 5 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 4$

Paso 4.1.5

Multiplica $- 5$ por $4$ .

$16 + 16 - 20 - 8 \cdot 2 + 4$

Paso 4.1.6

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$16 + 16 - 20 - 16 + 4$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Suma $16$ y $16$ .

$32 - 20 - 16 + 4$

Paso 4.2.2

Resta $20$ de $32$ .

$12 - 16 + 4$

Paso 4.2.3

Resta $16$ de $12$ .

$- 4 + 4$

Paso 4.2.4

Suma $- 4$ y $4$ .

$0$

Paso 5

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 4}{x - 2}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(2)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(2)$ .

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$
	$1$	$4$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(8)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 5)$ .

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$	$8$
	$1$	$4$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$	$8$
	$1$	$4$	$3$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(3)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(6)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 8)$ .

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$	$8$	$6$
	$1$	$4$	$3$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$	$8$	$6$
	$1$	$4$	$3$	$- 2$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 2)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(- 4)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(4)$ .

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$	$8$	$6$	$- 4$
	$1$	$4$	$3$	$- 2$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$	$8$	$6$	$- 4$
	$1$	$4$	$3$	$- 2$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{3} + 4 x^{2} + (3) x - 2$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2$

Paso 7

Resuelve la ecuación para obtener las raíces restantes.

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Paso 7.1

Factoriza $x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 7.1.1

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Paso 7.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2$

Paso 7.1.3

Sustituye $- 2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 7.1.3.1

Sustituye $- 2$ en el polinomio.

${(- 2)}^{3} + 4 {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2 - 2$

Paso 7.1.3.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$- 8 + 4 {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2 - 2$

Paso 7.1.3.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$- 8 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot - 2 - 2$

Paso 7.1.3.4

Multiplica $4$ por $4$ .

$- 8 + 16 + 3 \cdot - 2 - 2$

Paso 7.1.3.5

Suma $- 8$ y $16$ .

$8 + 3 \cdot - 2 - 2$

Paso 7.1.3.6

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$8 - 6 - 2$

Paso 7.1.3.7

Resta $6$ de $8$ .

$2 - 2$

Paso 7.1.3.8

Resta $2$ de $2$ .

$0$

Paso 7.1.4

Como $- 2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2}{x + 2}$

Paso 7.1.5

Divide $x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2$ por $x + 2$ .

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Paso 7.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$2$

Paso 7.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$

Paso 7.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Paso 7.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Paso 7.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Paso 7.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Paso 7.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Paso 7.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Paso 7.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{2} + 4 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Paso 7.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$

Paso 7.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$2$

Paso 7.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$2$

Paso 7.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$2$
							-	$x$	-	$2$

Paso 7.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x - 2$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$2$
							+	$x$	+	$2$

Paso 7.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$2$
							+	$x$	+	$2$
										$0$

Paso 7.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} + 2 x - 1$

Paso 7.1.6

Escribe $x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2$ como un conjunto de factores.

$(x + 2) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$

Paso 7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Paso 7.3

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.3.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 7.3.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 7.4

Establece $x^{2} + 2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.4.1

Establece $x^{2} + 2 x - 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Paso 7.4.2

Resuelve $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.4.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.4.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 2$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3

Simplifica.

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Paso 7.4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.2.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 7.4.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.3

Suma $4$ y $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 7.4.2.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 7.4.2.3.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Paso 7.4.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 7.4.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.2.4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 7.4.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.4.1.3

Suma $4$ y $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.4.1.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 7.4.2.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 7.4.2.4.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Paso 7.4.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{2}$

Paso 7.4.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 7.4.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.2.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 7.4.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.5.1.3

Suma $4$ y $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.5.1.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 7.4.2.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 7.4.2.5.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Paso 7.4.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{2}$

Paso 7.4.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Paso 7.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 2) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$ verdadera.

$x = - 2, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Paso 8

El polinomio puede escribirse como un conjunto de factores lineales.

$(x - 2) (x + 2) (x + 1 - \sqrt{2}) (x + 1 + \sqrt{2})$

Paso 9

Estas son las raíces (ceros) del polinomio $x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 4$ .

$x = 2, - 2, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 2, - 2, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Forma decimal:

$x = 2, - 2, 0.41421356 \dots, - 2.41421356 \dots$

Paso 11