Precálculo Ejemplos

$\frac{6 x^{2} + 13 x + 31}{x^{3} + 5 x^{2} + 4 x + 20}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{6 x^{2} + 13 x + 31}{(x^{3} + 5 x^{2}) + 4 x + 20}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{6 x^{2} + 13 x + 31}{x^{2} (x + 5) + 4 (x + 5)}$

Paso 1.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 5$ .

$\frac{6 x^{2} + 13 x + 31}{(x + 5) (x^{2} + 4)}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 5}$

Paso 1.3

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A}{x + 5} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x + 5) (x^{2} + 4)$ .

$\frac{(6 x^{2} + 13 x + 31) (x + 5) (x^{2} + 4)}{(x + 5) (x^{2} + 4)} = \frac{(A) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x + 5} + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x + 5$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(6 x^{2} + 13 x + 31) (x + 5) (x^{2} + 4)}{(x + 5) (x^{2} + 4)} = \frac{(A) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x + 5} + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(6 x^{2} + 13 x + 31) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{(A) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x + 5} + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $x^{2} + 4$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(6 x^{2} + 13 x + 31) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{(A) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x + 5} + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Paso 1.6.2

Divide $6 x^{2} + 13 x + 31$ por $1$ .

$6 x^{2} + 13 x + 31 = \frac{(A) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x + 5} + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Paso 1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1

Cancela el factor común de $x + 5$ .

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Paso 1.7.1.1

Cancela el factor común.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = \frac{A (x + 5) (x^{2} + 4)}{x + 5} + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Paso 1.7.1.2

Divide $(A) (x^{2} + 4)$ por $1$ .

$6 x^{2} + 13 x + 31 = (A) (x^{2} + 4) + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Paso 1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + A \cdot 4 + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Paso 1.7.3

Mueve $4$ a la izquierda de $A$ .

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 \cdot A + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Paso 1.7.4

Cancela el factor común de $x^{2} + 4$ .

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Paso 1.7.4.1

Cancela el factor común.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Paso 1.7.4.2

Divide $(B x + C) (x + 5)$ por $1$ .

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + (B x + C) (x + 5)$

Paso 1.7.5

Expande $(B x + C) (x + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.7.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x (x + 5) + C (x + 5)$

Paso 1.7.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x \cdot x + B x \cdot 5 + C (x + 5)$

Paso 1.7.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x \cdot x + B x \cdot 5 + C x + C \cdot 5$

Paso 1.7.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.6.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.7.6.1.1

Mueve $x$ .

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B (x \cdot x) + B x \cdot 5 + C x + C \cdot 5$

Paso 1.7.6.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + B x \cdot 5 + C x + C \cdot 5$

Paso 1.7.6.2

Mueve $5$ a la izquierda de $B x$ .

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + 5 \cdot (B x) + C x + C \cdot 5$

Paso 1.7.6.3

Mueve $5$ a la izquierda de $C$ .

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + 5 B x + C x + 5 C$

Paso 1.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.8.1

Mueve $B$ .

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + 5 x B + C x + 5 C$

Paso 1.8.2

Mueve $4 A$ .

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + B x^{2} + 5 x B + C x + 4 A + 5 C$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$6 = A + B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$13 = 5 B + C$

Paso 2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$31 = 4 A + 5 C$

Paso 2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$6 = A + B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 4 A + 5 C$

$6 = A + B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 4 A + 5 C$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $6 = A + B$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 6$ .

$A + B = 6$

$13 = 5 B + C$

$31 = 4 A + 5 C$

Paso 3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 4 A + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 4 A + 5 C$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $6 - B$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $31 = 4 A + 5 C$ por $6 - B$ .

$31 = 4 (6 - B) + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$31 = 4 \cdot 6 + 4 (- B) + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $4$ por $6$ .

$31 = 24 + 4 (- B) + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

Paso 3.2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

Paso 3.3

Reordena $6$ y $- B$ .

$A = - B + 6$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

$13 = 5 B + C$

Paso 3.4

Resuelve $C$ en $13 = 5 B + C$ .

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $5 B + C = 13$ .

$5 B + C = 13$

$A = - B + 6$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

Paso 3.4.2

Resta $5 B$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

Paso 3.5

Reemplaza todos los casos de $C$ por $13 - 5 B$ en cada ecuación.

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Paso 3.5.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $31 = 24 - 4 B + 5 C$ por $13 - 5 B$ .

$31 = 24 - 4 B + 5 (13 - 5 B)$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica $24 - 4 B + 5 (13 - 5 B)$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$31 = 24 - 4 B + 5 \cdot 13 + 5 (- 5 B)$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Paso 3.5.2.1.1.2

Multiplica $5$ por $13$ .

$31 = 24 - 4 B + 65 + 5 (- 5 B)$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Paso 3.5.2.1.1.3

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$31 = 24 - 4 B + 65 - 25 B$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = 24 - 4 B + 65 - 25 B$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Paso 3.5.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.5.2.1.2.1

Suma $24$ y $65$ .

$31 = - 4 B + 89 - 25 B$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Paso 3.5.2.1.2.2

Resta $25 B$ de $- 4 B$ .

$31 = - 29 B + 89$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = - 29 B + 89$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = - 29 B + 89$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = - 29 B + 89$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = - 29 B + 89$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Paso 3.6

Resuelve $B$ en $31 = - 29 B + 89$ .

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Paso 3.6.1

Reescribe la ecuación como $- 29 B + 89 = 31$ .

$- 29 B + 89 = 31$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Paso 3.6.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.6.2.1

Resta $89$ de ambos lados de la ecuación.

$- 29 B = 31 - 89$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Paso 3.6.2.2

Resta $89$ de $31$ .

$- 29 B = - 58$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$- 29 B = - 58$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Paso 3.6.3

Divide cada término en $- 29 B = - 58$ por $- 29$ y simplifica.

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Paso 3.6.3.1

Divide cada término en $- 29 B = - 58$ por $- 29$ .

$\frac{- 29 B}{- 29} = \frac{- 58}{- 29}$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Paso 3.6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.3.2.1

Cancela el factor común de $- 29$ .

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Paso 3.6.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 29 B}{- 29} = \frac{- 58}{- 29}$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Paso 3.6.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 58}{- 29}$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$B = \frac{- 58}{- 29}$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$B = \frac{- 58}{- 29}$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Paso 3.6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.3.3.1

Divide $- 58$ por $- 29$ .

$B = 2$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$B = 2$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$B = 2$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$B = 2$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Paso 3.7

Reemplaza todos los casos de $B$ por $2$ en cada ecuación.

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Paso 3.7.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $C = 13 - 5 B$ por $2$ .

$C = 13 - 5 \cdot 2$

$B = 2$

$A = - B + 6$

Paso 3.7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.7.2.1

Simplifica $13 - 5 \cdot 2$ .

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Paso 3.7.2.1.1

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$C = 13 - 10$

$B = 2$

$A = - B + 6$

Paso 3.7.2.1.2

Resta $10$ de $13$ .

$C = 3$

$B = 2$

$A = - B + 6$

$C = 3$

$B = 2$

$A = - B + 6$

$C = 3$

$B = 2$

$A = - B + 6$

Paso 3.7.3

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = - B + 6$ por $2$ .

$A = - (2) + 6$

$C = 3$

$B = 2$

Paso 3.7.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.7.4.1

Simplifica $- (2) + 6$ .

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Paso 3.7.4.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$A = - 2 + 6$

$C = 3$

$B = 2$

Paso 3.7.4.1.2

Suma $- 2$ y $6$ .

$A = 4$

$C = 3$

$B = 2$

$A = 4$

$C = 3$

$B = 2$

$A = 4$

$C = 3$

$B = 2$

$A = 4$

$C = 3$

$B = 2$

Paso 3.8

Enumera todas las soluciones.

$A = 4, C = 3, B = 2$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x + 5} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{4}{x + 5} + \frac{2 x + 3}{x^{2} + 4}$

Paso 5

Multiplica $2$ por $x$ .

$\frac{4}{x + 5} + \frac{2 x + 3}{x^{2} + 4}$